Mathematik 1 - Homepage von Georg Hoever - FH Aachen

5 Differenzialrechnung 58
5.4. Anwendungen
5.4.1. Die Regel von De L’Hospital
Ziel dieses Abschnittes ist es, Hilfsmittel zur Berechnung von Grenzwerten lim
reitzustellen, falls f(a)
g(a)
von der Art 0
0
oder ∞
∞
Betrachte den Fall f(a) = 0 = g(a). Dann gilt:
f(x)
g(x)
= f(x) − f(a)
g(x) − g(a) =
f(x)−f(a)
x−a
g(x)−g(a)
x−a
sin x cos x 1
also z.B. lim
x→0 x = lim
x→0 1 = 1 = 1.
Satz 5.11 (Regel von De L’Hospital)
Sei a ∈ R oder a = ±∞ und
ist, z.B. lim
x→0
sin x
x .
x→a
→ f ′ (a)
g ′ (a) (falls g′ (a) �= 0),
lim f(x) = 0 = lim g(x) oder lim f(x) = ±∞ = lim
x→a x→a x→a x→a g(x).
Sind f und g differenzierbar und g ′ �= 0 in der Nähe von a (x �= a), so gilt:
f(x)
lim
x→a g(x)
f
= lim
x→a
′ (x)
g ′ (x) ,
falls der rechte Grenzwert existiert (±∞ als Wert zugelassen).
Entsprechendes gilt bei einseitigen Grenzwerte.
Beispiel 1:
cos x − 1
lim
x→0 x2 − sinx
= lim
x→0 2x
− cos0
= lim
x→0 2
= − 1
2 .
x→a
f(x)
g(x) be-
Falls der rechte Grenzwert im Satz 5.11 nicht existiert, kann man nicht daraus schließen,
dass auch der linke nicht existiert!
Beispiel 2:
Sei f(x) = x + sinx, g(x) = x und a = ∞.
Dann ist lim
x→∞
Bemerkung:
f(x)
lim
x→∞ g(x)
f ′ (x)
g ′ (x)
= lim
x→∞
x + sin x
= lim
x→∞ x
1+cos x
1 nicht existent, aber
= lim
x→∞
�
1 +
�
sin x
x
= 1 existiert.
Grenzwerte von f(x) · g(x) vom Typ 0 · ∞ können in der Form f(x)
1
g(x)
(Typ 0
0
) oder g(x)
1
f(x)
5.4. Anwendungen
(Typ ∞
∞ ) behandelt werden.