Mathematik 1 - Homepage von Georg Hoever - FH Aachen

Anhang 117
Anwendungen zur Berechnung weiterer Ableitungen:
1. Zu f : x ↦→ e x ist f −1 : y ↦→ lny.
Wegen f ′ (x) = e x ergibt sich dann mit Satz C.1:
(lny) ′ =
1
f ′ (f −1 (y0)) =
1
f ′ (lny)
= 1
e
ln y = 1
2. Mit (1) ergibt sich weiter für jedes a ∈ R und x > 0:
(x a ) ′ =
Beispiel 1:
�√ x � ′ =
��
e ln x� a� ′
a ln x
= �e �� �
äußere Ableitung
=
�
e aln x� ′
· a · 1
x
����
innere Ableitung
= x a · a · 1
x = a · xa−1 .
�
x 1
2
� ′
= 1
· x1 2
2 −1 = 1
· x−1 2 =
2 1 1
· √
2 x
. (1)
y
Eine andere Herleitung der Ableitung von √ x als Umkehrfunktion zu f(x) =
x 2 ergibt sich mit Satz C.1: f −1 (y) = √ y, also
( √ y) ′ = � f −1� ′ (y) =
1
f ′ (f −1 (y)) =
1
2f −1 (y)
= 1
2 √ y .
3. Zu f : x ↦→ sinx ist f −1 (y) = arcsiny. Wegen f ′ (x) = cos x ist dann
� f −1 � ′ (y) =
1
cos(arcsin y) .
Dies kann man weiter umformen, denn aus cos2 x + sin2 x = 1 folgt
�
cos x = ± 1 − sin2 x.
- π
2
C. Ergänzungen zur Differenzialrechnung
1
cos x sin x
π
2
π 2π