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6 Integralrechnung 74
Mit der Merkregel führt man die Ersetzung t = cos x, also dt = − sinxdx, aus, also
�
sinx
dx =
cos x
�
−1
(− sin x)dx =
cos x
Rücksubstitution führt dann auf − ln | cos x|.
Beispiel 4:
Berechnung der Fläche des Einheitskreises:
t = cos x
dt = − sin x dx
� −1
t
Die Funktion t → √ 1 − t2 beschreibt einen Halbkreis mit
�1
√
Radius 1. Gesucht ist also 2 · 1 − t2 dt.
−1
dt = − ln |t|.
Idee: Nutze 1−sin 2 x = cos 2 x, d.h. setze t = sinx = g(x), und damit dt = cos xdx.
Für die neuen Grenzen a, b muss gelten: g(a) = −1 und g(b) = 1
⇒ a = arcsin(−1) = − π
2
�1
−1
� 1 − t 2 dt =
und b = arcsin(1) = π
2 :
t = sin x
dt = cos x dx
=
Symmetrieüberlegungen ergeben
π
2
�
− π
2
π
2
�
− π
2
π
2
�
− π
2
cos 2 xdx = 1 π π
· 2 · · 1 =
2 2 2
(vgl. Abschnitt 6.2.1, Beispiel 3).
�
2 1 − sin x · cos dx
� �� �
cos 2 x
cos x · cos xdx =
− π
2
Die Fläche eines Kreises mit Radius 1 ist also gleich 2 · π
2
Bemerkung:
π
2
�
− π
2
cos 2 xdx.
1
= π.
Während man zu jeder Zusammenstellung elementarer Funktionen mit den Ableitungsregeln
eine elementare Ableitung erhält, gibt es elementare Funktionen die
keine elementare Stammfunktion besitzen, z.B. e−x2. Literatur: [Dürr] 13.2.2; [Rie] 8.2; [Pap1] V.8.1
Übungen: [Stingl] 8.3, 4; [Dürr] 13.2, 2; [RieÜ] 8.5, 8.6, 8.7, 8.8; [PapÜ] C1, C2, C3, C10
6.2. Integration als Umkehrung der Differenziation
π
2
1
t