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7 Vektorrechnung 84
Beispiel 9:
� �
1302
und
� 5−1
2
−1
�
sind orthogonal (siehe Beispiel 7).
Beispiel 10:
Welche Vektoren sind orthogonal zu � �
−1
3 ?
Allgemein: Zu � � a1
a2 findet man einen orthogonalen Vektor durch Vertauschen der
Komponenten und Vorzeichenwechsel in einer der beiden Komponenten.
� � � �
a1 a2
· = a1 · a2 + a2 · (−a1) = 0.
a2 −a1
⇒ Zu � � � �
−1
3 ist 31 orthogonal sowie sämtliche Vielfache:
� �
−1
·
3
� � �
3 � �
λ = λ ·
1
� � � �
−1 3
· = λ · 0 = 0.
3 1
Satz 7.10
Für �a, � b ∈ V, λ ∈ R gilt:
1. ||λ ·�a|| = |λ| · ||�a||
2. ||�a + � b|| ≤ ||�a|| + || � b|| (Dreiecksungleichung)
3. |�a · � b| ≤ ||�a|| · || � b|| (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung).
Bemerkungen:
1. Die Dreiecksungleichung ist in R 2 und R 3 anschaulich klar:
�a
�a + � b
2. Wegen �a· � b = ||�a||·|| � b||·cos ϕ ist die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung |�a· � b| ≤ ||�a||·|| � b||
im R 2 und R 3 klar. ” =“ erreicht man bei cos ϕ = 1 bzw. cos ϕ = −1 also wenn �a
und � b parallel sind bzw. in entgegengesetzte Richtungen zeigen ( ” antiparallel“).
Merke: Bei vorgegebener Länge wird das Skalarprodukt maximal/minimal bei parallelen/antiparallelen
Vektoren.
Literatur: [Dürr] 6.1; [Rie] 2.3; [Pap1] II.2.3, II.3.3
Übungen: [Dürr] 6.1, 1,2,3,4,6; [RieÜ] 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7; [PapÜ] H4a)
7.3. Das Skalarprodukt
� b
�