Mathematik 1 - Homepage von Georg Hoever - FH Aachen
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Anhang 121<br />
wobei der Wert > 0 ist, sobald f nicht überall gleich 0 ist.<br />
Die zugehörige Norm ist<br />
�<br />
�2π<br />
||f||2 := |f(x)| 2 dx,<br />
mit dem Abstand<br />
d(f, g) = ||f − g||2 =<br />
0<br />
�<br />
�2π<br />
(Abstand im quadratischen Mittel).<br />
Beispiel 2:<br />
f(x)<br />
g(x)<br />
d2<br />
2π x<br />
Für f(x) = sinx und g(x) = 1 gilt<br />
||f|| 2 =<br />
||g|| 2 =<br />
〈f, g〉 =<br />
�<br />
2π<br />
0<br />
2π<br />
�<br />
0<br />
2π<br />
�<br />
0<br />
0<br />
sin 2 xdx = π,<br />
1 dx = 2π,<br />
sinx · 1 dx = 0.<br />
|f(x) − g(x)| 2 dx<br />
f(x)<br />
g(x)<br />
2π x<br />
f und g sind also orthogonal. Man kann zeigen, dass (bzgl. dieses Skalarprodukts)<br />
alle Funktionen<br />
1, sinx, cos x, sin(2x), cos(2x), sin(3x), . . .<br />
zueinander orthogonal sind.<br />
D. Ergänzungen zur Vektorrechnung
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