Mathematik 1 - Homepage von Georg Hoever - FH Aachen

8 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 96
→
→
→
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
1 2 0 2 4
0 1 1 2 6
0 0 1 0 −1
0 0 0 1 2
1 2 0 2 4
0 1 0 0 3
0 0 1 0 −1
0 0 0 1 2
1 0 0 0 −6
0 1 0 0 3
0 0 1 0 −1
0 0 0 1 2
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
Lösung: x1 = −6, x2 = 3, x3 = −1, x4 = 2
−III − 2 · IV
−2II − 2 · IV
Problem, das auftreten kann: Beim m-ten Schritt (a) ist amm = 0.
1. Fall: Es gibt ein anm �= 0, n > m:
Vertauschen der Zeilen n und m und weiter wie beschrieben.
2. Fall: Für alle n ≥ m ist anm = 0:
Weiter mit nächster Spalte.
Beispiel 2:
x1 + 2x2 − x3 + x4 = 1
3x1 + 6x2 − 3x3 + 4x4 = 5
x1 + 4x2 + 3x3 + x4 = 3
−x1 − x2 + 3x3 + 2x4 = 6
bzw. als erweiterte Koeffizientenmatrix:
→
⎛
1 2 −1 1 1
⎜
⎝
3
1
6
4
−3 4
3 1
5
3
−1 −1 3 2 6
⎛
1 2 −1 1 1
⎜ 0 0
⎝ 0 2
0
4
1
0
2
2
0 1 2 3 7
⎞
⎟
⎠
8.2. Das Gaußsche Eliminationsverfahren
⎞
⎟ −3 · I
⎠ − I
+ I