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8 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 106
A · D =
Satz 8.12 �
d11
Ist D =
⎛
3
⎞
1 0
⎛ ⎞
1 0 0
⎝ −1 4 1 ⎠ · ⎝0
0 0 ⎠ =
−1 1 0 0 0 5
0
...
0 dnn
�
eine Diagonalmatrix, so gilt:
⎛ ⎞
3 0 0
⎝ −1 0 5 ⎠ .
−1 0 0
D · A ergibt sich aus A durch Multiplikation der k-ten Zeile mit dkk,
A · D ergibt sich aus A durch Multiplikation der k-ten Spalte mit dkk.
Es gilt I · A = A · I = A.
Bemerkung:
Wie in R gilt auch bei Matrizen 0·A = 0. Aber aus A·B folgt nicht notwendigerweise
A = 0 oder B = 0, z.B.
� � � � � �
0 0 0 1 0 0
· = .
0 1 0 0 0 0
Gibt es zu A ∈ R n×n eine inverse Matrix B mit A · B = I? Wegen 0 · B = 0 geht das
sicher nicht für jedes A.
Definition 8.13
A ∈ R n×n heißt regulär oder invertierbar
:⇔ es gibt eine inverse Matrix A −1 ∈ R n×n mit A · A −1 = I.
Ansonsten heißt A singulär.
Beispiel 3:
Ist A =
�
1 2 1
0 −1 0
2 4 3
⎛
1 2
⎞
1
⎛
⎝ 0 −1 0 ⎠ · ⎝
2 4 3
x31
�
regulär? D.h. gibt es X = (xij) mit A · X = I, also
x11 x12 x13
x21 x22 x23
x31 x32 x33
⎞
⎠ =
⎛ ⎞
1 0 0
⎝ 0 1 0 ⎠?
0 0 1
Dies entspricht 3 Gleichungssystemen mit verschiedenen rechten Seiten:
⎛ ⎞
x11
A · ⎝x21
⎠ =
⎛ ⎞
1
⎝ 0 ⎠,
⎛ ⎞
x12
A · ⎝x22
⎠ =
⎛ ⎞
0
⎝1
⎠,
⎛ ⎞
x13
A · ⎝ x23 ⎠ =
0
0
x32
Die Gleichungssysteme kann man simultan lösen:
⎛
⎝
A I
1 2 1 1 0 0
0 −1 0 0 1 0
2 4 3 0 0 1
8.4. Quadratische Matrizen
⎞
⎠ ·(−1)
− 2 · I
x33
⎛ ⎞
0
⎝0
⎠
1