Modélisation de l'évaporation de gouttes multi-composants

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CHAPITRE 4 MODELISATION NUMERIQUEYs( − ξ )Δxn+1 n+1i− YN i= m& YNmoy i(4.31)+ 14πrmoyρlDi,lavecΔr1Δ x = =(4.32)r ( t)NsLe profil de la fraction massique pour chaque espèce est déterminé par l'équation de diffusiondes espèces :∂Yi, lDi,l ∂ ⎛ ∂Y2 i,l ⎞−= 02⎜r⎟(4.33)∂tr ∂r⎝ ∂r⎠qui devient après le changement de variables :22∂ Yi, lDi,l∂ Yi, l 1 ⎛ 2Di,l x dr ( t)⎞ ∂Ysi,l= + ⎜⎟t rs() t x rs() t+2 2 2∂ ∂x dt(4.34)⎝ 2 ⎠ ∂xUne fois discrétisée, cette équation peut s'écrire, tous calculs terminés :⎡ k − 2⎤⎢α1+ α2⎣ 2⎥⎦⎡ k − 2= −⎢α1+ α2⎣ 22 n+1n+1( k −1) Y − ( 1+α )( k −1) Y + α −α( k −1)i k −1⎤⎥⎦12 nn2 n( k −1) Y − ( 1−α)( k −1) Y − α −α( k −1) Yi k −1i k1⎡⎢⎣1i kk2Di,lΔtm&Δtavec α1= , α2 2 2=3rsmoyΔxπρlr16smoy⎡⎢⎣21k222⎤⎥Y⎦n+1i k + 1et 2 ≤ k ≤ N .⎤⎥⎦i k + 1(4.35)Au centre de la goutte (x=0, x=1), l'équation (4.35) ne s'applique plus et il faut transformerl'équation (4.34) en utilisant la règle de l'Hopital :lim1 ∂Yx ∂x∂Y2x→ 0i i=2(4.36)∂xLa condition de symétrie permet d'écrire :Yni kni= Y(4.37)( −k)On obtient finalement :n+1n+1nn( 1+3α ) − 3αY = ( 1−3α) Y + α Y1Yi1 i1 i3121 1 i 2(4.38)Ce système étant tridiagonal, l'algorithme de Thomas (décrit en Annexe B) est utilisé.L'équation de diffusion de la chaleur s'écrit de la même façon que l'équation de diffusion desespèces (4.33) :132
CHAPITRE 4 MODELISATION NUMERIQUE∂T∂t−ρ Cp rlλll∂ ⎛∂r⎝∂T⎞∂r⎠2=2⎜r⎟0(4.39)La résolution de cette équation s'effectue donc de la même manière, sauf à l'interface où lebilan d'énergie donne :donc : TTQ & ∂l= 4πr2sλl∂r(4.40)n+1N + 1− Tn+1Nr=r sQ&lΔx=4πλ rlsmoy(4.41)133
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THÈSEprésentée en vue del’obte
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