Logica Matematica Corso di Laurea in Informatica ... - Mbox.dmi.unict.it

4.3. FORME NORMALI CONGIUNTIVE 103
Esempio 4.3.5. Trasformare la forma normale disgiuntiva (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)
in forma normale congiuntiva:
Il primo congiunto si trasforma in
il secondo in
quindi la proposizione in
(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)
(p ∨ (¬p ∧ q)) ∧ (¬q ∨ (¬p ∧ q)).
(p ∨ ¬p) ∧ (p ∨ q),
(¬q ∨ ¬p) ∧ (¬q ∨ q),
(p ∨ ¬p) ∧ (p ∨ q) ∧ (¬q ∨ ¬p) ∧ (¬q ∨ q),
da cui si possono ancora eliminare le tautologie, ottenendo
(p ∨ q) ∧ (¬q ∨ ¬p).
Non è detto che questo procedimento, che ha il merito di far vedere la
terminazione del compito, se lo si segue come filo d’Arianna, sia sempre il più
efficiente; può essere utilmente integrato con l’applicazione in itinere dell’eliminazione
delle ripetizioni, e con l’eliminazione delle tautologie dalle congiunzioni,
e della contraddizioni dalle disgiunzioni, ogni volta che sia possibile;
sono utili le leggi di assorbimento ed equivalenze come ¬(A → B) ≡ A ∧ ¬B;
oppure ci sono scorciatoie come quando, volendo mirare a una forma congiuntiva,
si incontra una sottoproposizione della forma (A ∧ B) ∨ (C ∧ B) che
conviene rimpiazzare direttamente con (A ∨ C) ∧ B.
Esempio 4.3.6. Trasformare (¬p∧q)∨(¬q∧¬p) in forma normale congiuntiva.
Con la distributività (e la commutatività) si ottiene subito
¬p ∧ (q ∨ ¬q)
e quindi ¬p. Applicando invece l’algoritmo forma normale si ottiene
((¬p ∧ q) ∨ ¬q) ∧ ((¬p ∧ q) ∨ ¬p).
Il secondo congiunto è equivalente a ¬p per assorbimento; il primo è equivalente
a (¬p ∨ ¬q) ∧ (q ∨ ¬q), quindi a ¬p ∨ ¬q, e in definitiva
(¬p ∨ ¬q) ∧ ¬p,
che per l’assorbimento è equivalente a ¬p. Questa seconda strada è più lunga,
ma è proposta solo per illustrare l’effetto delle varie mosse possibili.