Logica Matematica Corso di Laurea in Informatica ... - Mbox.dmi.unict.it

More documents

Recommendations

Info

170 CAPITOLO 8. CALCOLI LOGICI Esercizio 8.1.10. Trovare un controesempio a ∀xP (x) → ∀xQ(x) |= ∀x(P (x) → Q(x)). Esercizio 8.1.11. Verificare se i seguenti enunciati sono soddisfacibili, e in caso positivo descrivere i loro modelli, e quali sono infiniti: ∀x∃yR(x, y) → ∃y∀xR(x, y) ∀xR(c, x) → ∀x∃yR(x, y) ¬∀xP (x) ∧ ∀x(Q(x) → P (x)) ∧ ∀xQ(x) ∀xR(c, x) ∧ ∀x¬R(F (x), c) ∧ ∀xR(x, F (x)) Esercizio 8.1.12. Dimostrare che se l’enunciato della radice contiene solo simboli relazionali a un posto e nessun simbolo funzionale (linguaggio monadico) l’albero di refutazione è sempre finito. Suggerimento. Dimostrare prima con le leggi del paragrafo 8.5 che ogni enunciato del genere è logicamente equivalente ad uno in cui non ci sono quantificatori nidificati, cioè nessun quantificatore cade dentro al raggio d’azione di un altro. 8.2 Calcolo della risoluzione 8.2.1 Interpretazioni di Skolem-Herbrand Le interpretazioni definite nella dimostrazione del lemma 8.1.4, per ogni ramo non chiuso, sono particolari: l’universo è un insieme di termini chiusi; le funzioni sono definite in modo che risulti che ogni termine denota se stesso, t M = t e le relazioni sono definite scegliendo un insieme di enunciati atomici come veri. Interpretazioni con queste caratteristiche si chiamano interpretazioni di Skolem-Herbrand. Avvertenza 8.2.1. Prima di pensare a chissà quali diavolerie, si consideri che le interpretazioni in cui i termini chiusi denotano se stessi sono le più naturali. Nelle prime esperienze con i numeri, le cifre 1, 2, . . . non denotano numeri, ma sono i numeri, ovvero questi si identificano con le cifre. Solo a livelli sofisticati si introduce una notazione diversa per i numeri denotati dalle cifre o dai numerali; ad esempio l’insieme vuoto ∅ è il numero zero secondo la definizione insiemistica, e 0 la cifra del linguaggio aritmetico che lo denota, oppure in un’interpretazione M dell’aritmetica l’elemento 0 M di M è lo zero della struttura, e 0 sempre la costante del linguaggio che lo denota. La differenza è che nella trattazione intuitiva tendiamo a dire che ad esempio 1 + 1 denota 2, mentre in un’interpretazione di Skolem-Herbrand
8.2. CALCOLO DELLA RISOLUZIONE 171 1 + 1 denota se stesso, e si riduce alla forma normale 2, ovvero, 1 + 1 e 2 stanno nella stessa classe di equivalenza rispetto a =. Dal lemma 8.1.4 si può perciò dedurre Corollario 8.2.2. Se un enunciato A è soddisfacibile, A ha un modello di Skolem-Herbrand osservando che se A è soddisfacibile, l’albero con radice A non si chiude, e A ha modelli costruiti come nella dimostrazione del lemma. Un’interpretazione di Skolem-Herbrand si può vedere come interpretazione proposizionale degli enunciati privi di quantificatori: la scelta degli enunciati atomici veri che individua l’interpretazione di Skolem-Herbrand, e che si chiama anche base di Herbrand (che nel caso dell’albero di refutazione sono quelli nei nodi di un ramo non chiuso, ma in altri contesti potrebbero essere scelti in modo diverso) si può pensare come l’attribuzione del valore 1 ad alcuni enunciati atomici (agli altri il valore 0); gli enunciati privi di quantificatori sono ottenuti da quelli atomici con i connettivi e il loro essere veri o falsi nell’interpretazione di Skolem-Herbrand coincide con il loro avere 1 o 0 come valore calcolato con le funzioni di verità. Un insieme S di enunciati privi di quantificatori si dice soddisfacibile in senso proposizionale se esiste un’assegnazione v di valori 0, 1 agli enunciati atomici occorrenti come sottoenunciati degli enunciati di S tale che v ∗ (A) = 1 per ogni A ∈ S. Per un enunciato universale ∀x1 . . . ∀xnA, sia SA l’insieme degli enunciati privi di quantificatori che si ottengono sostituendo i termini chiusi in tutti i modi possibili nella matrice A. Teorema 8.2.3 (Teorema di Skolem-Herbrand). Un enunciato universale ∀x1 . . . ∀xnA è insoddisfacibile se e solo se esiste un sottinsieme finito di SA che è insoddisfacibile in senso proposizionale. Dimostrazione. Se ∀x1 . . . ∀xnA è insoddisfacibile, l’albero che ha la radice ∀x1 . . . ∀xnA si chiude. Nello sviluppo dell’albero si applicherà prima che si chiuda un numero finito di volte la regola per il quantificatore universale, che introduce nell’albero enunciati A[x1/t i 1, . . . , xn/t i n] a cui poi si applicano solo regole relative a connettivi. Se si imposta un albero con un ramo iniziale in cui tutti questi enunciati A[x1/t i 1, . . . , xn/t i n] sono introdotti in serie, nello sviluppo successivo di quest’albero si applicano le stesse mosse che si sono applicate nel precedente, e che portano alla sua chiusura. Viceversa se c’è un insieme finito di enunciati A[x1/t i 1, . . . , xn/t i n] ∈ SA tale che l’albero che ha come radice la loro congiunzione si chiude, perché
Page 1:
Logica Matematica Corso di Laurea i
Page 4 and 5:
ii INDICE 4.3 Forme normali congiun
Page 6 and 7:
iv INDICE che punto questo sia poss
Page 8 and 9:
2 CAPITOLO 1. LINGUAGGI 1.1.1 Predi
Page 10 and 11:
4 CAPITOLO 1. LINGUAGGI rendere “
Page 12 and 13:
6 CAPITOLO 1. LINGUAGGI la competen
Page 14 and 15:
8 CAPITOLO 1. LINGUAGGI deve valere
Page 16 and 17:
10 CAPITOLO 1. LINGUAGGI nella cong
Page 18 and 19:
12 CAPITOLO 1. LINGUAGGI iniziali d
Page 20 and 21:
14 CAPITOLO 1. LINGUAGGI universale
Page 22 and 23:
16 CAPITOLO 1. LINGUAGGI 1.1.6 Esem
Page 24 and 25:
18 CAPITOLO 1. LINGUAGGI La precede
Page 26 and 27:
20 CAPITOLO 1. LINGUAGGI frase è v
Page 28 and 29:
22 CAPITOLO 1. LINGUAGGI Che i nume
Page 30 and 31:
24 CAPITOLO 1. LINGUAGGI Esempio 1.
Page 32 and 33:
26 CAPITOLO 1. LINGUAGGI Le interro
Page 34 and 35:
28 CAPITOLO 1. LINGUAGGI 2. Se piov
Page 36 and 37:
30 CAPITOLO 1. LINGUAGGI quantifica
Page 38 and 39:
32 CAPITOLO 1. LINGUAGGI Torniamo o
Page 40 and 41:
34 CAPITOLO 1. LINGUAGGI derivazion
Page 42 and 43:
36 CAPITOLO 1. LINGUAGGI 1.2.1 Eser
Page 44 and 45:
38 CAPITOLO 1. LINGUAGGI è conferm
Page 46 and 47:
40 CAPITOLO 1. LINGUAGGI
Page 48 and 49:
42 CAPITOLO 2. LOGICA PROPOSIZIONAL
Page 50 and 51:
Page 52 and 53:
Page 54 and 55:
Page 56 and 57:
Page 58 and 59:
Page 60 and 61:
Page 62 and 63:
Page 64 and 65:
Page 66 and 67:
Page 68 and 69:
Page 70 and 71:
Page 72 and 73:
Page 74 and 75:
Page 76 and 77:
Page 78 and 79:
72 CAPITOLO 3. INSIEMI E ALGEBRE DI
Page 80 and 81:
Page 82 and 83:
Page 84 and 85:
Page 86 and 87:
Page 88 and 89:
Page 90 and 91:
Page 92 and 93:
Page 94 and 95:
Page 96 and 97:
Page 98 and 99:
Page 100 and 101:
Page 102 and 103:
96 CAPITOLO 4. FORME NORMALI e 1 al
Page 104 and 105:
98 CAPITOLO 4. FORME NORMALI Eserci
Page 106 and 107:
100 CAPITOLO 4. FORME NORMALI Una d
Page 108 and 109:
102 CAPITOLO 4. FORME NORMALI forma
Page 110 and 111:
104 CAPITOLO 4. FORME NORMALI Le fo
Page 112 and 113:
106 CAPITOLO 4. FORME NORMALI
Page 114 and 115:
108 CAPITOLO 5. CALCOLO DELLA RISOL
Page 116 and 117:
Page 118 and 119:
Page 120 and 121:
Page 122 and 123:
Page 124 and 125:
Page 126 and 127: 120 CAPITOLO 5. CALCOLO DELLA RISOL
Page 132 and 133: 126 CAPITOLO 6. ALBERI DI REFUTAZIO
Page 146 and 147: 140 CAPITOLO 7. LINGUAGGI PREDICATI
Page 172 and 173: 166 CAPITOLO 8. CALCOLI LOGICI del
Page 174 and 175: 168 CAPITOLO 8. CALCOLI LOGICI Non
Page 178 and 179: 172 CAPITOLO 8. CALCOLI LOGICI l’
Page 180 and 181: 174 CAPITOLO 8. CALCOLI LOGICI Una
Page 182 and 183: 176 CAPITOLO 8. CALCOLI LOGICI Esem
Page 184 and 185: 178 CAPITOLO 8. CALCOLI LOGICI Se i
Page 186 and 187: 180 CAPITOLO 8. CALCOLI LOGICI La d
Page 188 and 189: 182 CAPITOLO 8. CALCOLI LOGICI Eser
Page 190: 184 CAPITOLO 8. CALCOLI LOGICI a cu
show all

Logica Matematica Corso di Laurea in Informatica ... - Mbox.dmi.unict.it

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?