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78 CAPITOLO 3. INSIEMI E ALGEBRE DI BOOLE
o
∅ = {x ∈ U | x = x}.
Se si denotasse questo insieme ∅U e si definisse ∅V = {x ∈ V | x = x} si
avrebbe ∅U = ∅V perché i due insiemi hanno gli stessi elementi, nessuno per
entrambi.
Caratteristica dell’insieme vuoto è che per ogni x, in qualunque U, x /∈ ∅.
Due insiemi X e Y la cui intersezione sia vuota, X ∩ Y = ∅, cioè non
abbiano alcun elemento in comune, si dicono disgiunti.
Le relazioni tra le operazioni insiemistiche sono espresse da diverse leggi,
un certo numero delle quali è elencato qui di seguito.
1 X ∩ X = X idempotenza dell’intersezione
2 X ∪ X = X idempotenza dell’unione
3 X ∩ Y = Y ∩ X commutatività dell’intersezione
4 X ∪ Y = Y ∪ X commutatività dell’unione
5 X ∩ (Y ∩ Z) = (X ∩ Y ) ∩ Z associatività dell’intersezione
6 X ∪ (Y ∪ Z) = (X ∪ Y ) ∪ Z associatività dell’unione
7 X ∩ (Y ∪ Z) = (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z) distributività di ∩ rispetto a ∪
8 X ∪ (Y ∩ Z) = (X ∪ Y ) ∩ (X ∪ Z) distributività di ∪ rispetto a ∩
9 X ∩ (X ∪ Y ) = X assorbimento
10 X ∪ (X ∩ Y ) = X assorbimento
11 ∼(∼ X) = X doppio complemento
12 ∼(X ∩ Y ) = (∼ X) ∪ (∼ Y ) legge di De Morgan
13 ∼(X ∪ Y ) = (∼ X) ∩ (∼ Y ) legge di De Morgan
14 ∼ ∅ = U
15 ∼ U = ∅
16 X ∩ (∼ X) = ∅ legge dell’inverso per∩
17 X ∪ (∼ X) = U legge dell’inverso per ∪
18 X ∩ U = X legge dell’elemento neutro per ∩
19 X ∪ U = U
20 X ∩ ∅ = ∅
21 X ∪ ∅ = X legge dell’elemento neutro per ∪.
Esistono altre leggi che riguardano la relazione ⊆ (alcune già menzionate),
come
22 X ⊆ X
23 ∅ ⊆ X
24 X ⊆ U
25 X ⊆ X ∪ Y
26 X ∩ Y ⊆ X