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84 CAPITOLO 3. INSIEMI E ALGEBRE DI BOOLE
2. La 17 segue dalla 16 e dalle 12, 14, 11, 4, nell’ordine, con i seguenti
passaggi
X ∩ (∼ X) = ∅
∼(X ∩ (∼ X)) = ∼ ∅
(∼ X) ∪ (∼(∼ X)) = U
(∼ X) ∪ X = U
X ∪ (∼ X) = U.
3. La 18 segue da 17, 7, 1, 16 e 21 con i seguenti passaggi
X ∪ (∼ X) = U
U = X ∪ (∼ X)
X ∩ U = X ∩ (X ∪ (∼ X))
X ∩ U = (X ∩ X) ∪ (X ∩ (∼ X))
X ∩ U = X ∪ ∅
X ∩ U = X.
4. La 31: X ⊆ Y se e solo se ∼ X ∪Y = U, segue dalla 30 e da De Morgan
con 11 e 14.
Indagando la reciproca derivabilità delle varie leggi, ci si accorge che tutte
(sia quelle elencate che altre, quelle che sono valide per ogni famiglia di
sottoinsiemi di un insieme) sono derivabili dalle seguenti (conservando la
numerazione di 4.1):
3 X ∩ Y = Y ∩ X commutatività dell’intersezione
4 X ∪ Y = Y ∪ X commutatività dell’unione
5 X ∩ (Y ∩ Z) = (X ∩ Y ) ∩ Z associatività dell’intersezione
6 X ∪ (Y ∪ Z) = (X ∪ Y ) ∪ Z associatività dell’unione
7 X ∩ (Y ∪ Z) = (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z) distributività di ∩ rispetto a ∪
8 X ∪ (Y ∩ Z) = (X ∪ Y ) ∩ (X ∪ Z) distributività di ∪ rispetto a ∩
16 X ∩ ∼ X = ∅ legge dell’inverso per ∩
17 X ∪ ∼ X = U legge dell’inverso per ∪
18 X ∩ U = X legge dell’elemento neutro per ∩
21 X ∪ ∅ = X legge dell’elemento neutro per ∪.
Queste leggi si chiamano assiomi delle algebre di Boole. La scelta degli
assiomi non è arbitraria (ci sono ragioni di analogia con altri sistemi di