Logica Matematica Corso di Laurea in Informatica ... - Mbox.dmi.unict.it

156 CAPITOLO 7. LINGUAGGI PREDICATIVI
Ovviamente, per la commutatività di ∧ e ∨, la formula senza la variabile
libera può essere sia la prima sia la seconda della congiunzione e rispettivamente
disgiunzione. Invece il condizionale non è commutativo. Tuttavia
esistono leggi riguardanti i quantificatori nell’antecedente, forse a prima vista
sorprendenti:
∀x(A → B) ≡ ∃xA → B
e
∃x(A → B) ≡ ∀xA → B
se x non occorre libera in B.
La prima legge corrisponde al seguente uso linguistico: quando si dice
che qualche cosa, espressa da B, dipende solo dal fatto che (l’insieme di
verità di) A non sia vuoto, e non da un particolare elemento (come sarebbe
se x occorresse in B e dovesse soddisfarla), allora si può enfatizzare che
qualunque elemento va bene. Se si afferma “se uno ha un amico è felice” —
∃xA(x, y) → F (y) — si vuol dire che qualunque sia l’amico, anche un cane,
porta felicità (a y).
Dimostriamo la prima (l’altra è analoga)
Dimostrazione. Si supponga che l’enunciato (per semplicità) ∃xA(x) → B
sia vero, quindi B vero o ∃xA falso. Se B è vero, anche allora A → B è
soddisfatta da ogni assegnazione, e ∀xA → B è vero. Se ∃xA è falso, ogni
assegnazione soddisfa A → B, e ∀xA → B è vero.
Se invece ∃xA → B è falso, allora B è falso e ∃xA è vero, quindi almeno
una assegnazione soddisfa A. Questa assegnazione rende falso il condizionale
A → B, per cui ∀x(A(x) → B) non è vero.
Esempio 7.2.9. Deduzione naturale di ∃xA → B ⊢ ∀x(A → B).
Supponiamo che le due formule siano enunciati.
1 ∃xA → B assunzione
2 A assunzione da scaricare a 5
3 ∃xA (I∃) da 2
4 B (MP) da 1 e 3
5 A → B (I→) da 2 e 4
6 ∀x(A → B) (I∀) da 5
Le equivalenze che permettono di spostare all’interno i quantificatori permettono
anche di spostarli all’esterno; si ottiene così che ogni formula è
equivalente ad una formula in cui tutti i quantificatori sono all’inizio — e
formano il cosiddetto prefisso — seguiti da una formula senza quantificatori
— detta matrice; una formula scritta in questo modo di dice in forma
prenessa.