Logica Matematica Corso di Laurea in Informatica ... - Mbox.dmi.unict.it

162 CAPITOLO 7. LINGUAGGI PREDICATIVI
Poiché y non è libera nel conseguente, si può scrivere in modo equivalente
∀y(x = 2 · y → ¬∃y(x + 1 = 2 · y));
come nell’esempio dell’amico che rende felici, che può essere qualunque, anche
ora si dice che y può essere qualunque, purché soddisfi poi l’antecedente
x = 2 · y.
Trattiamo la y di x = 2 · y è come una variabile universale. Data una y
qualunque, occorre dimostrare che
ovvero
x = 2 · y → ¬∃y(x + 1 = 2 · y),
x = 2 · y → ∀y(x + 1 = 2 · y).
Il quantificatore del conseguente può essere spostato nel prefisso, dopo aver
eseguito un’opportuna rinomina, e la formula da dimostrare è equivalente a
quindi possiamo provare a dimostrare
∀z(x = 2 · y → x + 1 = 2 · z);
x = 2 · y → x + 1 = 2 · z,
con tutte le variabili intese in senso universale.
Per assurdo, assumiamo la negazione del condizionale, quindi
x = 2 · y ∧ x + 1 = 2 · z,
e con alcuni calcoli arriviamo a una contraddizione.
Abbiamo quindi
x = 2 · y → x + 1 = 2 · z,
e quantificando universalmente
da cui con le leggi logiche pertinenti
∀x∀y∀z(x = 2 · y → x + 1 = 2 · z),
∀x(∃y(x = 2 · y) → ∀z(x + 1 = 2 · z)).
Si noti che di solito nel gergo matematico, dove non si usa indicare
i quantificatori, attraverso un’interpretazione (corretta) dell’enunciato da
dimostrare si imposta direttamente proprio
se x = 2 · y, allora x + 1 = 2 · z.