Logica Matematica Corso di Laurea in Informatica ... - Mbox.dmi.unict.it

86 CAPITOLO 3. INSIEMI E ALGEBRE DI BOOLE
36 Se X ∩ Y = ∅ e X ∪ Y = U allora X = ∼ Y .
Dimostrazione.
usando anche la 3.
11 X = ∼ ∼ X
X = X ∩ U per la 18
= X ∩ (Y ∪ ∼ Y ) per la 17
= (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ ∼ Y ) per la 7
= ∅ ∪ (X ∩ ∼ Y ) per l’ipotesi
= (Y ∩ ∼ Y ) ∪ (X ∩ ∼ Y ) per la 16
= (Y ∪ X) ∩ ∼ Y per la 7
= U ∩ ∼ Y per l’ipotesi
= ∼ Y per la 18,
Dimostrazione. Siccome X ∩ ∼ X = ∅ e X ∪ ∼ X = U, per la 36 ora
vista con ∼ X al posto di Y da 16 e 17 si ha X = ∼ ∼ X.
13 ∼(X ∪ Y ) = ∼ X ∩ ∼ Y
Dimostrazione. Per applicare la 36, facciamo vedere che
e
(∼ X ∩ ∼ Y ) ∪ (X ∪ Y ) = U
(∼ X ∩ ∼ Y ) ∩ (X ∪ Y ) = ∅.
La prima segue da questi passaggi (abbreviati, esplicitarli tutti per
esercizio, serve anche la 19 di sopra):
(∼ X ∩ ∼ Y ) ∪ (X ∪ Y ) = (∼ X ∪ X ∪ Y ) ∩ (∼ Y ∪ X ∪ Y )
e la seconda (utilizzando 20) da:
= U ∩ U = U
(∼ X ∩ ∼ Y ) ∩ (X ∪ Y ) = (∼ X ∩ ∼ Y ∩ X) ∪ (∼ X ∩ ∼ Y ∩ Y )
= ∅ ∪ ∅ = ∅