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3.2. ALGEBRE DI BOOLE 87
37 X ∩ Y = X se e solo se X ∩ ∼ Y = ∅
Dimostrazione.
X = X ∩ U per la 18
= X ∩ (Y ∪ ∼ Y ) per la 17
= (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ ∼ Y ) per la 5
quindi se X ∩ ∼ Y = ∅ allora X = X ∩ Y .
Viceversa se X = X ∩ Y
U = ∼ X ∪ X per la 17
= ∼ X ∪ (X ∩ Y )
= (∼ X ∪ X) ∩ (∼ X ∪ Y ) per la 6
= U ∩ (∼ X ∪ Y ) per la 17
= ∼ X ∪ Y per la 18
Quindi ∅ = X ∩ ∼ Y per la 13 e la 15 (esercizio).
9 X ∩ (X ∪ Y ) = X
Esercizi
Dimostrazione. Si noti che
X ∩ (X ∪ Y ) = (X ∩ X) ∪ (X ∩ Y ) = X ∪ (X ∩ Y )
per la 1 e la 5, per cui la 9 e la 10 si dimostrano insieme.
Per la 37 e la 13
X ∩ (X ∪ Y ) = X se e solo se X ∩ (∼ X ∩ ∼ Y ) = ∅
ma X ∩ (∼ X ∩ ∼ Y ) = (X ∩ ∼ X) ∩ ∼ Y = ∅ ∩ ∼ Y = ∅, per
l’associatività, la commutatività e la 20.
Esercizio 3.2.1. Dimostrare:
i A ∩ (B ∪ (C \ A)) = A ∩ B
ii A ∩ B ∩ (A ∪ B) = A ∩ B
iii A ∪ (C ∩ (A ∪ B)) = A ∪ (C ∩ B)