Logica Matematica Corso di Laurea in Informatica ... - Mbox.dmi.unict.it

7.2. SEMANTICA 157
Se il prefisso è tutto costituito da quantificatori universali la formula si
dice universale, se da quantificatori esistenziali si dice esistenziale.
Ad esempio
è equivalente (esercizio) a
ma anche a
∀xP (x) ∨ ∀xQ(x) → ∀x(P (x) ∨ Q(x))
∃x∃y∀z(P (x) ∨ Q(y) → P (z) ∨ Q(z))
∀z∃x∃y(P (x) ∨ Q(y) → P (z) ∨ Q(z))
ed esistono altre forme prenesse della stessa formula, a seconda dell’ordine
in cui si esportano i quantificatori.
Si noti lo scambio dei quantificatori universali ed esistenziali nei due prefissi;
lo scambio di solito non è permesso, non è valido in generale, ma capita
con prefissi diversi di due forme premesse equivalenti di una stessa formula.
Le regole viste, ed elencate nella tabella 7.1 sono sufficienti a trasformare
ogni formula in forma prenessa. Alcune ulteriori leggi utili si derivano
da esse con l’uso della rinomina delle variabili vincolate. Ad esempio dalla
distributività di ∀ su ∧ segue
∀xA ∧ B ≡ ∀x(A ∧ B) se x non libera in B,
e analogamente dalla distributività di ∃ su ∨ segue
∃xA ∨ B ≡ ∃x(A ∨ B) se x non libera in B.
Per trasformare in forma prenessa ∀xA[x] ∧ ∃xB[x] si può allora ottenere
prima ∃x(∀xA[x] ∧ B[x]); quindi poiché x è libera in B si sostituisce
∀xA[x] ∧ B[x] con l’equivalente ∀z(A[x/z] ∧ B(x)), dopo una rinomina; si
ottiene infine ∀xA[x] ∧ ∃xB[x] ≡ ∃x∀z(A[z] ∧ B[x]), oppure in altro modo
(esercizio) ∀xA[x] ∧ ∃xB[x] ≡ ∀x∃z(A[x] ∧ B[z]).
Una formula si dice in forma normale di Skolem se la formula è universale
e la sua matrice è in forma normale congiuntiva (dove ora con “letterale” si
intende una formula atomica o la negazione di una formula atomica).
Due formule A e B si dicono equisoddisfacibili se A è soddisfacibile se e
solo se B è soddisfacibile (non necessariamente con lo stesso modello).
Lemma 7.2.10. Ogni formula A è equisoddisfacibile ad una formula in
forma normale di Skolem con le stesse variabili libere.