Logica Matematica Corso di Laurea in Informatica ... - Mbox.dmi.unict.it

142 CAPITOLO 7. LINGUAGGI PREDICATIVI
Le parentesi sono necessarie per riconoscere la struttura formale, il segno
logico principale e le sottoformule. Le parentesi si riducono con le stesse
convenzioni viste per le proposizioni, dove ora i quantificatori sono al primo
posto nell’ordine di priorità, insieme alla negazione (se adiacenti, si procede
alla reintroduzione dall’interno, o da destra verso sinistra, come già per la
negazione nel linguaggio proposizionale).
Esempio 7.1.2. ∃xP (x) ∧ ∃y¬Q(y) → ¬∃x∃yR(x, y) rimettendo le parentesi,
escluse quelle intorno alle formule atomiche e la coppia esterna, diventa
∃xP (x) ∧ ∃y¬Q(y) → ¬∃x(∃yR(x, y))
∃xP (x) ∧ ∃y¬Q(y) → ¬(∃x(∃yR(x, y)))
∃xP (x) ∧ ∃y¬Q(y) → (¬(∃x(∃yR(x, y))))
∃xP (x) ∧ ∃y(¬Q(y)) → (¬(∃x(∃yR(x, y))))
∃xP (x) ∧ (∃y(¬Q(y))) → (¬(∃x(∃yR(x, y))))
(∃xP (x)) ∧ (∃y(¬Q(y))) → (¬(∃x(∃yR(x, y))))
((∃xP (x)) ∧ (∃y(¬Q(y)))) → (¬(∃x(∃yR(x, y))))
che è una selva di parentesi ma da cui si vede la struttura, che è quella di
un condizionale con l’antecedente che è una congiunzione e il conseguente
che è una negazione; ∧ e ¬ collegano tra loro formule quantificate (cioè che
iniziano con un quantificatore).
Per le formule si possono costruire gli alberi sintattici individuando il
segno logico principale, che ora può essere un connettivo oppure un quantificatore,
per le formule del tipo (∀xA) e (∃xA).
Nei nodi dell’albero sintattico di una formula occorrono le sottoformule
della formula stessa.
L’albero sintattico per ∃xP (x) ∧ ∃y¬Q(y) → ¬∃x∃yR(x, y) è il seguente:
∃xP (x) ∧ ∃y¬Q(y) → ¬∃x∃yR(x, y)
↙ ↘
∃xP (x) ∧ ∃y¬Q(y) ¬∃x∃yR(x, y)
↙ ↘ ↓
∃xP (x) ∃y¬Q(y) ∃x∃yR(x, y)
↓ ↓ ↓
P (x) ¬Q(y) ∃yR(x, y)
↓ ↓
Q(y) R(x, y).
Esempio 7.1.3. Le identità booleane sono esempi di formule atomiche.