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144 CAPITOLO 7. LINGUAGGI PREDICATIVI
Le occorrenze di una variabile entro il raggio d’azione di un quantificatore
relativo a quella variabile si dicono vincolate dal quantificatore nella formula
(e così pure la x adiacente a Q in Qx, che spesso non viene neanche menzionata);
quelle che non occorrono entro il raggio d’azione di un quantificatore
relativo a quella variabile si dicono libere.
Se si vuole mettere in evidenza che la formula A contiene occorrenze libere
di x si scrive A[x], senza escludere che ne contenga altre; se si vuole mettere
in evidenza che contiene occorrenze libere di x e di y scriviamo A[x, y].
Qualche volta si dice brevemente che x è libera in A per dire che in
A vi sono occorrenze libere di x, o che x è vincolata per dire che vi sono
occorrenze vincolate, ma bisogna fare attenzione che allora come abbiamo
visto una variabile può essere sia libera sia vincolata in una formula.
Le formule in cui non ci sono occorrenze libere di variabili si dicono enunciati.
Sono le formule per cui ha senso chiedere se sono vere o false (una volta
fissata l’interpretazione con il dominio di discorso).
Le formule che non sono enunciati saranno anche chiamate, per sottolineare
la differenza, formule aperte; esse non esprimono frasi, piuttosto
definiscono insiemi, o relazioni, a seconda di quante variabili libere hanno.
Esempio 7.1.6. In ∀x(x 2 + 1 > 0) ∧ x < 0 le prime due occorrenze di x sono
vincolate; la terza è libera.
In ∀x(x 2 + 1 > 0) ∧ ∃x(x < 0) tutte le occorrenze della x sono vincolate,
ma le prime due dal quantificatore universale, le altre dal quantificatore
esistenziale.
Un quantificatore può cadere entro il raggio d’azione di un altro quantificatore,
come si è visto in diversi esempi.
Ma un quantificatore relativo a una variabile x può anche cadere entro il
raggio d’azione di un altro quantificatore relativo alla stessa x. Ad esempio,
dopo aver considerato la formula del tipo A[x], con una variabile x che occorre
libera:
∀x(x 2 + 1 > 0) ∧ x < 0
nel dominio degli interi, e aver verificato che il suo insieme di verità non è
vuoto, si ottiene un enunciato vero premettendo ∃x. Ma allora si ottiene
l’enunciato
∃x(∀x(x 2 + 1 > 0) ∧ x < 0),
che richiede di essere letto con attenzione. Quando nella costruzione di una
formula si premette ad A un quantificatore con la variabile x, questo quan-
tificatore vincola tutte le occorrenze di x che sono libere in A, e solo quelle.
Proprio per come è stato ottenuto, è chiaro che il quantificatore esistenziale
nell’esempio vincola l’occorrenza di x che prima era libera, cioè l’ultima, e