Logica Matematica Corso di Laurea in Informatica ... - Mbox.dmi.unict.it

3.2. ALGEBRE DI BOOLE 93
Una dimostrazione logica di questo fatto ricalca la dimostrazione algebrica
di sopra.
La seguente è una deduzione del fatto che |= A → B segue da A ≡ A∧B:
A ∨ ¬A
(A ∧ B) ∨ ¬A
(A ∨ ¬A) ∧ (B ∨ ¬A)
B ∨ ¬A
A → B.
Ogni proposizione di questa lista o è una tautologia o segue logicamente dalle
precedenti e da A ≡ A ∧ B, quindi l’ultima è una tautologia.
Viceversa, se |= A → B, quindi A ∧ ¬B è una contraddizione,
A ↔ A ∧ (B ∨ ¬B)
A ↔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ ¬B)
A ↔ A ∧ B.
La corrispondenza tra le deduzioni algebriche e quelle logiche è fondata
sulla corrispondenza tra [A] ≤ [B] e |= A → B.
Il fatto che per ogni A, 0 ≤ [A] ≤ 1 corrisponde al fatto che una contraddizione
implica qualsiasi proposizione, e una tautologia è implicata da
qualsiasi proposizione.
La relazione booleana ≤ ha le seguenti proprietà, che se a ≤ b allora
−b ≤ −a e per ogni c, c ◦ a ≤ c ◦ b e c + a ≤ c + b (esercizio).
Queste proprietà corrispondono per l’implicazione al fatto che se |= A →
B allora |= ¬B → ¬A e per ogni C, |= C ∧ A → C ∧ B e |= C ∨ A → C ∨ B
(vedi esercizi).
La proprietà transitiva di ≤ corrisponde alla transitività del condizionale,
mentre la proprietà di sostituzione t1 = t2 → t[t1] = t[t2] corrisponde ad
un’analoga proprietà logica: se in una proposizione si sostituisce una sottoproposizione
con una equivalente, il risultato è una proposizione equivalente
a quella iniziale.
Conviene indicare l’operazione di rimpiazzamento di una sottoproposizione
B con C in una proposizione A, con la notazione: A[B /C].
Si ha allora che
se B ≡ C allora A ≡ A[B /C].
Nell’esempio di sopra A ∨ ¬A ≡ (A ∧ B) ∨ ¬A poiché A ≡ A ∧ B.