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62 CAPITOLO 2. LOGICA PROPOSIZIONALE Vale anche il viceversa (si veda l’esercizio 2.3.28): Teorema 2.3.2 (Completezza). Se A1, . . . , An |= B, allora A1, . . . , An ⊢ B. Per dimostrare che A1, . . . , An |= B si può allora cercare di dedurre B dalle assunzioni A1, . . . , An. Si dice peraltro informalmente che una proposizione B si deduce da un’altra A se A |= B e se questo fatto è riconosciuto e certificato da una spiegazione. Un modo per riconoscere la sussistenza di A |= B è quello di inserire tra A e B altre proposizioni legate tra loro dalla relazione di premesse-conclusione di regole corrette, il che spesso porta a costruire una deduzione. Ad esempio per stabilire (r → p ∨ q) ∧ r ∧ ¬p |= q si può eseguire il seguente ragionamento: dall’assunzione (r → p ∨ q) ∧ r ∧ ¬p seguono logicamente r → p ∨ q, r e ¬p separatamente per eliminazione della congiunzione, quindi p ∨ q da r → p ∨ q e r per modus ponens, e q da p ∨ q e ¬p per il sillogismo disgiuntivo. Ma questo ragionamento non è altro che la deduzione: 1 (r → p ∨ q) ∧ r ∧ ¬p assunzione 2 r → p ∨ q (E∧) da 1 3 r (E∧) da 1 4 p ∨ q (MP) da 2 e 3 5 ¬p (E∧) da 1 6 q (E∨) da 4 e 5. La completezza ci assicura che il calcolo è potente, nel senso che permette di dedurre tutte le tautologie. Non si vorrebbe che fosse troppo potente, cioé che permettesse di dedurre anche altre proposizioni, magari anche alcune contraddittorie, magari tutte. In tal caso il calcolo si direbbe contraddittorio. Che il calcolo non sia contraddittorio è assicurato dal teorema di correttezza. La correttezza di un calcolo è utile per poter dimostrare che non esiste una derivazione A1, . . . , An ⊢ B. Siccome sappiamo che in generale se A ⊢ B allora A |= B, allora ad esempio possiamo affermare che A ∨ B ⊢ B perché B non è conseguenza logica di A ∨ B (e tale proprietà la possiamo verificare in un modo effettivo: A ∨ B → B non è una tautologia). In un contesto astratto, dare una semantica a un calcolo consiste nell’associare al linguaggio una proprietà delle formule che si conservi dalle premesse
2.3. CALCOLO DELLA DEDUZIONE NATURALE 63 alla conclusione nella applicazione di ogni regola. Allora si può dire che se determinate assunzioni hanno tale proprietà, anche ogni formula dedotta da quelle assunzioni deve avere la stessa proprietà (nel caso del calcolo della deduzione naturale per la logica proposizionale e della semantica delle tavole di verità la proprietà è quella di essere soddisfatta in una interpretazione). 2.3.1 Sistemi formali Facciamo un esempio artificiale, presentando un sistema formale in miniatura, cioé un sistema finito di regole per trasformare parole di un alfabeto non interpretato, neanche nelle intenzioni 26 . Le regole sono scritte nella forma σ ❀ τ, da intendere che la parola σ si può riscrivere come parola τ. Le parole sono rappresentate dalla concatenazione di simboli dell’alfabeto. Usiamo le lettere x, y, . . . come variabili sulle parole, inclusa la parola vuota. Alfabeto: M, I, U. Regole: R1 : xI ❀ xIU R2 : Mx ❀ Mxx R3 : xIIIy ❀ xUy R4 : xUUy ❀ xy In questo sistema data una parola (come assioma, o assunzione) ci si può chiedere quali parole siano deducibili da essa. Ad esempio da MI si derivano le seguenti parole: ma anche 1 MI assunzione 2 MII per R2 3 MIIII per R2 4 MUI per R3 5 MUIU per R1 6 MUIUUIU per R2 7 MUIIU per R4 . . . 1 MI assunzione 2 MIU per R1 . . . 26 L’esempio è preso da D. R. Hofstadter, Gödel, Escher, Bach, Basic Books, New York, 1979.
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