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7.2. SEMANTICA 153
Si è visto già nella definizione di unione e intersezione generalizzate come
i quantificatori esistenziale ed universale siano usati come generalizzazione
della disgiunzione e della congiunzione.
Se si combina questa legge logica con quella della doppia negazione si
ottengono altre versioni, come
o
¬∀x¬A ↔ ∃xA
∀xA ↔ ¬∃x¬A
che mostrano come i due quantificatori non siano indipendenti, ma l’uno
definibile in termini dell’altro, e della negazione. Si chiamano anche leggi
della interdefinibilità dei quantificatori.
La legge tipica del quantificatore universale è la legge di particolarizzazione
∀xA → A[x/t],
per ogni termine sostituibile a x che A ha per x.
Le applicazioni della legge sono frequenti; gli assiomi di una teoria sono in
genere enunciati che iniziano con un quantificatore universale (oppure sono
presentati come formule valide, supponendo tacitamente una possibilità di
sostituzione di termini qualsiasi alle variabili che è di fatto un’applicazione
della particolarizzazione).
Si trovano sia esempi di applicazioni in cui t è chiuso sia esempi in cui
contiene variabili.
Esempio 7.2.8. La legge boleana dell’unicità dell’elemento neutro dell’addizione
∀x(x + y = x) → y = 0
si può dimostrare in questi due modi.
Applicando a ∀x(x+y = x) la particolarizzazione con 0 si ottiene 0+y = 0
da cui con trasformazioni algebriche, utilizzando y + 0 = y, si arriva a y = 0.
Applicando invece a ∀x(x+y = x) la particolarizzazione con −y si ottiene
−y + y = −y, quindi 1 = −y e y = 0.
Nell’esempio la formula quantificata universalmente è del tipo ∀xA[x, y],
e −y è ovviamente sostituibile a x perché A[x, y] non contiene quantificatori.
La validità della legge di particolarizzazione è una facile conseguenza del
lemma 7.2.2.
Se t non è sostituibile a x in A, il condizionale non è valido, come mostra
il controesempio ∀x∃yR(x, y) → ∃yR(y, y), che è falso nella struttura dei
numeri naturali se R è interpretato sulla relazione