Logica Matematica Corso di Laurea in Informatica ... - Mbox.dmi.unict.it

148 CAPITOLO 7. LINGUAGGI PREDICATIVI
Una formula A si dice soddisfacibile se esiste qualche M in cui è valida.
Altrimenti si dice insoddisfacibile.
Se A è un enunciato, e come formula è valida in M, si dice che A è vero
in M.
La chiusura universale di A è l’enunciato ∀A che si ottiene premettendo
ad A un quantificatore universale per ogni variabile libera in A. Una formula
A è valida in M se e solo se ∀A è vero in M.
Si dirà che A è logicamente valida, e si scriverà |= A, se
M |= A, per ogni M.
Se A è una formula chiusa logicamente valida, A si dirà anche un enunciato
logicamente vero.
A si dice conseguenza logica di A1, . . . , An, e si scriverà
A1, . . . , An |= A
se per ogni M e ogni assegnazione α in M,
se M, α |= A1 ∧ . . . ∧ An allora M, α |= A,
ovvero se |= A1 ∧ . . . ∧ An → A.
Se diciamo che M, α |= T se M, α |= B per ogni B ∈ T , la definizione di
conseguenza T |= A si può generalizzare a insiemi qualunque T .
Se T è finito T = {A1, . . . , An}, per ogni A si ha che A1, . . . , An |= A se
e solo se A1 ∧ . . . ∧ An |= A.
Se A e B sono enunciati, B |= A se e solo se ogni modello di B è anche
modello di A.
A è logicamente equivalente a B, in simboli A ≡ B se per ogni M e per
ogni assegnazione α in M,
che corrisponde a |= A ↔ B.
La sostituzione
M, α |= A se e solo se M, α |= B,
Discutiamo a parte alcuni problemi che si pongono per la sostituzione di
termini alle variabili libere di una formula.
Indichiamo con A[x/t] il risultato della sostituzione del termine t a tutte
le occorrenze libere di x in t, senza escludere che in A ci siano altre variabili
libere 11 .
11 In precedenza avevamo indicato con A[t] il risultato della sostituzione, ma conviene
tenere traccia della variabile sostituita.