Logica Matematica Corso di Laurea in Informatica ... - Mbox.dmi.unict.it

7.1. SINTASSI 143
Esempio 7.1.4. Tipiche formule atomiche di argomenti aritmetici e algebrici
sono x − 1 = 0, x · y + x = x · (y + 1), x + (y + z) = (x + y + z), x < x + 1, e
in generale t1 = t2 e t1 ≤ t2 o t1 < t2 dove t1 e t2 sono termini.
Esempio 7.1.5. Tutti gli esempi del paragrafo 2.5.2 sono esempi di formule
predicative.
7.1.3 Variabili libere e vincolate
La clausola 4 della definizione del linguaggio predicativo è la clausola nuova,
rispetto al linguaggio proposizionale.
Per semplificare la discussione seguente, scriviamo Qx per indicare indifferentemente
∀x o ∃x, nelle considerazioni che valgono per entrambi.
In una formula del tipo (QxA), A si chiama raggio d’azione del quantificatore
Qx iniziale. Tutte le occorrenze di x all’interno del raggio d’azione
di (Qx) (con una riserva che vedremo) vanno intese in senso o universale o
rispettivamente esistenziale, a seconda di cosa è Q.
Naturalmente in (QxA) fuori dal raggio d’azione del primo quantificatore
non c’è nulla, ma si deve pensare a quando (QxA) è parte di un’altra formula,
ad esempio (QxA) ∧ B.
Per le occorrenze di x al di fuori del raggio d’azione del quantificatore, se
non cadono dentro al raggio d’azione di un altro quantificatore, il senso in cui
vanno interpretate non è determinato. L’interpretazione di tutta la formula
allora è ambigua, o necessita di ulteriori precisazioni per essere compresa.
Ad esempio ∀x(x 2 + 1 > 0) ha un senso compiuto, è l’affermazione di un
fatto, e in particolare è vera in tutti i domini numerici usuali ordinati; nella
formula
(∀x(x 2 + 1 > 0)) ∧ x < 0
invece l’ultima x è indeterminata, non cadendo nel raggio d’azione di nessun
quantificatore 7 . Si può studiare l’insieme di verità associato; nell’universo dei
reali, per esempio, tale insieme è l’insieme dei numeri negativi; nell’universo
dei naturali, è vuoto. La prima parte ∀x(x 2 + 1 > 0) della congiunzione è
vera in entrambi i casi e non contribuisce nulla alla delimitazione dell’insieme
di verità.
In ∀x(x 2 + 1 > 0) ∧ ∃x(x < 0) l’ultima occorrenza di x cade nel raggio
d’azione di ∃x, e si ha la congiunzione di due formule che corrispondono
entrambe ad affermazioni di senso compiuto, entrambe vere negli interi,
razionali o reali, mentre la seconda è falsa nei naturali.
7 Abbiamo messo ancora qui le parentesi esterne in (∀x(x 2 + 1 > 0)) perché fosse chiaro
dove finisce il raggio d’azione del quantificatore universale.