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88 CAPITOLO 3. INSIEMI E ALGEBRE DI BOOLE
iv (A \ B) ∪ (B ∩ A) = A
v (A ∩ (B ∪ C)) ∩ (∼ B ∪ A) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
Esercizio 3.2.2. Dimostrare le proprietà 22–33 della relazione ⊆, a partire
dagli assiomi, usando 28 come definizione di ⊆ 8 .
Lo stesso, usando una volta 29, una volta 30 e una volta 31 come definizione
di ⊆.
Esercizio 3.2.3. Dimostrare, a partire dagli assiomi delle algebre di Boole,
tutte le altre leggi sopra elencate per le operazioni di un’algebra di insiemi.
3.2.1 Algebra 2
Due altre notevoli algebre di Boole sono importanti, l’algebra 2 e l’algebra
delle proposizioni.
Quando si dice che gli assiomi sopra elencati sono gli assiomi delle algebre
di Boole, non si intende che i simboli di operazioni usati nella formulazione
degli assiomi denotino le operazioni insiemistiche di unione, intersezione e
complemento; altrimenti le uniche algebre di Boole sarebbero le algebre di
insiemi. S’intende solo che siano operazioni rispettivamente binarie (le prime
due) e unaria (la terza), e che soddisfino le proprietà espresse dagli assiomi
per tutti gli elementi di un insieme non vuoto, che è l’universo della struttura.
Può essere utile addirittura riscrivere gli assiomi con altri simboli che non
abbiamo un significato già consolidato 9 :
x ◦ y = y ◦ x commutatività
x + y = y + x commutatività
x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z associatività
x + (y + z) =(x + y) + z associatività
x ◦ (y + z) = (x ◦ y) + (x ◦ z) distributività
x + (y ◦ z) = (x + y) ◦ (x + z) distributività
x ◦ (−x) = 0 inverso
x + (−x) = 1 inverso
x ◦ 1 = x elemento neutro
x + 0 = x elemento neutro
8La 22 e la 27, insieme a “X = Y se e solo se X ⊆ Y e Y ⊆ X” stabiliscono che ⊆ è
una relazione di ordine parziale.
9Con l’ordine di priorità −, ◦, +. ◦ è una pallina e non un punto, per distinguerla dalla
moltiplicazione numerica.