Logica Matematica Corso di Laurea in Informatica ... - Mbox.dmi.unict.it

3.1. INSIEMI 79
e proprietà come
27 se X ⊆ Y e Y ⊆ Z allora X ⊆ Z
28 X ⊆ Y se e solo se X ∩ Y = X
29 X ⊆ Y se e solo se X ∪ Y = Y
30 X ⊆ Y se e solo se X ∩ (∼ Y ) = ∅
31 X ⊆ Y se e solo se ∼ X ∪ Y = U
32 se X ⊆ Y e X ⊆ Z allora X ⊆ (Y ∩ Z)
33 se Y ⊆ X e Z ⊆ X allora (Y ∪ Z) ⊆ X.
Ma non tutte sono indipendenti. La loro dimostrazione può consistere nel
mostrare direttamente che i due insiemi implicati hanno gli stessi elementi.
Esempi
3 X ∩ Y = Y ∩ X.
Dimostrazione. Se x ∈ X ∩ Y , allora x ∈ X ∧ x ∈ Y ; ma per la
commutatività della congiunzione si ha allora x ∈ Y ∧ x ∈ X, quindi
x ∈ Y ∩ X. Il viceversa, partendo da x ∈ Y ∩ X, è analogo.
4 X ∪ Y = Y ∪ X.
Dimostrazione. Se x ∈ X ∪ Y allora x ∈ X ∨ x ∈ Y . La conclusione
segue come sopra per la commutatività della disgiunzione. Oppure
usiamo la distinzione di casi: se x ∈ X, allora x ∈ Y ∨ x ∈ X per
introduzione della disgiunzione. Se x ∈ Y allora pure x ∈ Y ∨ x ∈ X.
Quindi x ∈ X ∨ x ∈ Y → x ∈ Y ∨ x ∈ X e X ∪ Y ⊆ Y ∪ X. Il viceversa
è analogo.
5 X ∩ (Y ∪ Z) = (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z).
Dimostrazione. Mostriamo prima che X ∩(Y ∪Z) ⊆ (X ∩Y )∪(X ∩Z).
Se x ∈ X ∩(Y ∪Z) allora x ∈ X e x ∈ Y ∪Z. Ci sono due casi: o x ∈ Y
o x ∈ Z. Nel primo caso, x ∈ X e x ∈ Y , quindi x ∈ X ∩ Y , e quindi
x ∈ (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z) per la 25, che supponiamo dimostrata 6 . Nel
secondo caso, x ∈ X e x ∈ Z, quindi x ∈ X ∩ Z e quindi x appartiene
a (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z), per la 25 e la 4.
Si mostri ora nello stesso modo (esercizio) che (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z) ⊆
X ∩ (Y ∪ Z), e l’uguaglianza è provata.
6 La dimostrazione è implicita nella precedente dimostrazione di 4.