Logica Matematica Corso di Laurea in Informatica ... - Mbox.dmi.unict.it

76 CAPITOLO 3. INSIEMI E ALGEBRE DI BOOLE
e
se Y ⊆ X e Z ⊆ X allora Y ∪ Z ⊆ X.
Per dimostrare X ∩ Y ⊆ X ad esempio, bisogna dimostrare che
x ∈ X ∩ Y → x ∈ X
è sempre vera in U.
Se si elimina x ∈ X ∩ Y sostituendola con x ∈ X ∧ x ∈ Y , equivalente
per la definizione di ∩, si ha
x ∈ X ∧ x ∈ Y → x ∈ X,
dove occorrono solo connettivi e formule del tipo x ∈ X, x ∈ Y . Sostituendo
queste frasi, non ulteriormente analizzabili, con lettere proposizionali, si
ottiene
p ∧ q → p
che è una tautologia (e possiamo chiamare tautologia anche x ∈ X ∧ x ∈
Y → x ∈ X). Poiché per ogni a ∈ U le formule ca ∈ X, ca ∈ Y diventano
vere o false, ogni scelta di un a si può pensare come una interpretazione delle
lettere proposizionali. Siccome la proposizione è una tautologia, la frase è
vera per ogni a ∈ U.
Oppure, dal punto di vista deduttivo, possiamo osservare che ⊢ x ∈
X ∧ x ∈ Y → x ∈ X. In seguito useremo sempre implicitamente questo
ragionamento 5
Per dimostrare la massimalità dell’intersezione, cioè che se Z ⊆ X e
Z ⊆ Y allora Z ⊆ X ∩ Y , si deve far vedere che da
e da
segue
ovvero
Ma
x ∈ Z → x ∈ X
x ∈ Z → x ∈ Y
x ∈ Z → x ∈ X ∩ Y
x ∈ Z → x ∈ X ∧ x ∈ Y.
p → q, p → r |= p → q ∧ r.
5 E in casi analoghi scriveremo semplicemente x ∈ X ∧ x ∈ Y → x ∈ X omettendo il
segno di validità logica |= o quello di derivalibilità ⊢.