Logica Matematica Corso di Laurea in Informatica ... - Mbox.dmi.unict.it

140 CAPITOLO 7. LINGUAGGI PREDICATIVI
di essere un simbolo dell’alfabeto, e di quale categoria, deve essere decidibile,
e nel caso di simboli di predicato o di funzione il numero di argomenti deve
essere effettivamente dato.
Le variabili 3 sono disponibili in quantità illimitata, anche se ogni volta se
ne utilizzeranno solo un numero finito 4 .
La dotazione di simboli di predicato, di funzione e di costante, che costituiscono
la parte extralogica dell’alfabeto di un linguaggio, differisce da linguaggio
a linguaggio, e possono anche mancare, anche se almeno un simbolo
di predicato deve sempre essere presente.
Con “linguaggio” s’intende talvolta il complesso di alfabeto, espressioni,
regole sintattiche e nozioni semantiche, altre volte semplicemente l’insieme
delle formule (o delle proposizioni nel caso del linguaggio proposizionale).
7.1.2 Termini e formule
La struttura di base di un’affermazione atomica, come abbiamo visto, è l’attribuzione
di un predicato a uno o più termini. Se t1, . . . , tn sono termini,
non necessariamente distinti 5 , si scriverà
P (t1, . . . , tn)
a indicare che il predicato P sussiste per gli individui denotati dagli n termini
(più precisamente la proprietà P se il numero di argomenti di P è n = 1, o
la relazione P se n > 1).
I termini sono le costanti, le variabili e, se f è un simbolo di funzione a n
posti, e t1, . . . , tn sono n termini, non necessariamente distinti, f(t1, . . . , tn)
è un termine.
La scrittura f(t1, . . . , tn) è quella usuale per indicare il valore di f in
corrispondenza agli argomenti t1, . . . , tn. Ma le virgole non appartengono al
linguaggio predicativo; le parole sono liste di simboli dell’alfabeto e quella che
costituisce in effetti il termine in questione è semplicemente la concatenazione
ft1 . . . tn 6 .
3 Talvolta sono chiamate variabili individuali, per distinguerle da variabili per predicati
o altri enti più astratti che si trovano in altri tipi di linguaggi, che non presentiamo.
L’aggettivo “individuale” si riferisce al fatto che denotano elementi del dominio di discorso.
4 Per alcune considerazioni, serve che l’insieme delle variabili sia ordinato, x1, x2, . . ., e
la funzione che a ogni n associa l’n-esima variabile sia una funzione calcolabile.
5 Si potrebbe anche dire soltanto: “data una n-upla di termini”, dove è implicito che le
componenti non sono necessariamente distinte.
6 ft1 . . . tn non è in generale una (n+1)-upla, ma una lista la cui lunghezza è 1+ n
1 l(ti),
dove l(ti) è la lunghezza della lista ti: ft1 . . . tn è in effetti f ⌢ t ⌢ 1 . . . ⌢ tn.