Logica Matematica Corso di Laurea in Informatica ... - Mbox.dmi.unict.it

20 CAPITOLO 1. LINGUAGGI
frase è vera, in x < y → ∃z(x < z ∧ z < y) l’antecedente x < y risulta falso
(come nell’esempio dei tedeschi).
Con “un terzo” di nuovo si vuol dire semplicemente “un numero”, e che sia
diverso dai primi due segue automaticamente se “compreso” significa “strettamente
compreso”; altrimenti, se la relazione d’ordine fosse intesa come ≤
allora potrebbe anche essere uguale a uno dei due; non è questo il senso della
frase, che vuole esprimere la densità dell’ordine dei numeri reali — e anche
dei razionali.
Se nella stessa formula il segno di relazione è interpretato su di una
relazione riflessiva, come
∀x∀y(x ≤ y → ∃z(x ≤ z ∧ z ≤ y)),
o più in generale “se R è riflessiva allora . . . ”, ovvero
∀xR(x, x) → ∀x∀y(R(x, y) → ∃z(R(x, z) ∧ R(z, y))),
allora la formula è banalmente vera per ogni relazione 10 .
Esempio 1.1.22. “La relazione R è riflessiva”, che significa che ogni elemento
sta nella relazione R con se stesso, si scrive
come abbiamo fatto sopra.
∀xR(x, x),
Esempio 1.1.23. “La relazione R è simmetrica”, che significa che se la relazione
R sussiste tra uno primo e un secondo elemento allora sussiste anche
tra il secondo e il primo, si scrive
∀x∀y(R(x, y) → R(y, x)).
Esempio 1.1.24. “La relazione R è transitiva”, che significa che se R sussiste
tra un primo elemento e un secondo, e tra questo e un terzo, allora sussiste
anche tra il primo e il terzo, si scrive,
∀x∀y∀z(R(x, y) ∧ R(y, z) → R(x, z)).
Esempio 1.1.25. Come non esiste un quantificatore sulle coppie, così non
esiste un quantificatore che esprima “esiste esattamente un . . . ”, o “esiste un
solo . . . ”. Tale locuzione si realizza mediante l’uguaglianza come nel seguente
esempio.
La frase “dati due numeri, esiste un solo numero che è la loro somma” si
formalizza come
∀x∀y∃z(z = x + y ∧ ∀u(u = x + y → u = z)).
10 Con “banalmente” s’intende che dati x e y come z si può prendere o x o y, e la formula
non ci dà veramente informazioni.