Logica Matematica Corso di Laurea in Informatica ... - Mbox.dmi.unict.it

62 CAPITOLO 2. LOGICA PROPOSIZIONALE
Vale anche il viceversa (si veda l’esercizio 2.3.28):
Teorema 2.3.2 (Completezza). Se A1, . . . , An |= B, allora A1, . . . , An ⊢ B.
Per dimostrare che A1, . . . , An |= B si può allora cercare di dedurre B
dalle assunzioni A1, . . . , An.
Si dice peraltro informalmente che una proposizione B si deduce da
un’altra A se A |= B e se questo fatto è riconosciuto e certificato da una
spiegazione.
Un modo per riconoscere la sussistenza di A |= B è quello di inserire tra A
e B altre proposizioni legate tra loro dalla relazione di premesse-conclusione
di regole corrette, il che spesso porta a costruire una deduzione.
Ad esempio per stabilire
(r → p ∨ q) ∧ r ∧ ¬p |= q
si può eseguire il seguente ragionamento: dall’assunzione (r → p ∨ q) ∧ r ∧ ¬p
seguono logicamente r → p ∨ q, r e ¬p separatamente per eliminazione della
congiunzione, quindi p ∨ q da r → p ∨ q e r per modus ponens, e q da p ∨ q e
¬p per il sillogismo disgiuntivo.
Ma questo ragionamento non è altro che la deduzione:
1 (r → p ∨ q) ∧ r ∧ ¬p assunzione
2 r → p ∨ q (E∧) da 1
3 r (E∧) da 1
4 p ∨ q (MP) da 2 e 3
5 ¬p (E∧) da 1
6 q (E∨) da 4 e 5.
La completezza ci assicura che il calcolo è potente, nel senso che permette di
dedurre tutte le tautologie. Non si vorrebbe che fosse troppo potente, cioé
che permettesse di dedurre anche altre proposizioni, magari anche alcune
contraddittorie, magari tutte. In tal caso il calcolo si direbbe contraddittorio.
Che il calcolo non sia contraddittorio è assicurato dal teorema di correttezza.
La correttezza di un calcolo è utile per poter dimostrare che non esiste
una derivazione A1, . . . , An ⊢ B.
Siccome sappiamo che in generale se A ⊢ B allora A |= B, allora ad
esempio possiamo affermare che A ∨ B ⊢ B perché B non è conseguenza
logica di A ∨ B (e tale proprietà la possiamo verificare in un modo effettivo:
A ∨ B → B non è una tautologia).
In un contesto astratto, dare una semantica a un calcolo consiste nell’associare
al linguaggio una proprietà delle formule che si conservi dalle premesse