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74 CAPITOLO 3. INSIEMI E ALGEBRE DI BOOLE
Se A[x] è una A che non contiene x, ad esempio ∃y(y 2 = 2), allora A[x] è
vera o falsa in U indipendentemente dalla scelta degli elementi considerati,
per cui se è vera, in {x ∈ U | A} ci sono tutti gli elementi di U; se è falsa,
nessuno.
Con la notazione {x1, . . . , xn} si indica l’insieme i cui elementi sono x1,
. . . , xn.
L’insieme {x, y} si chiama coppia (non ordinata) di x e y, che sono gli
unici elementi di {x, y}: x ∈ {x, y} e y ∈ {x, y} 2 , e inoltre
z ∈ {x, y} → z = x ∨ z = y.
Con questa scrittura intendiamo che ∀x∀y∀z(z ∈ {x, y} → z = x ∨ z = y) è
vera in U, e nel seguito useremo tale forma di abbreviazione.
La coppia {x, y} ha due elementi se x = y; altrimenti se x = y ne ha uno
solo, si indica {x} e si chiama anche insieme unitario, o singoletto di x.
Esempio 3.1.1. Se U = {a, b, c, d} e A[x] è x = a ∨ x = b, l’insieme definito
da A[x] in U è {a, b}.
Se U è l’insieme dei numeri naturali e A[x] è la condizione “x è divisibile
per 2”, l’insieme di verità di A[x] è l’insieme dei numeri pari, e tale insieme
è definito dalla condizione “x è divisibile per 2”.
Un insieme di verità è un sottoinsieme di U; si dice che X è un sottoinsieme
di Y , o che è contenuto 3 in Y , in simboli X ⊆ Y , se ogni elemento di
X è anche elemento di Y : per ogni x, se x ∈ X allora x ∈ Y .
D’ora in avanti usiamo le lettere X, Y, . . . per indicare sottoinsiemi di un
insieme U, indipendentemente dalle formule in corrispondenza alle quali sono
introdotte per denotare gli insiemi di verità di quelle formule.
Qualche volta, raramente, si scrive Y ⊇ X per X ⊆ Y .
Si dice che X è un sottoinsieme proprio di Y , e si scrive X ⊂ Y , oppure
X Y , se X ⊆ Y ma X = Y .
Se X ⊆ Y e Y ⊆ X allora X e Y hanno gli stessi elementi; questo
per definizione significa che X = Y . Quello che caratterizza gli insiemi non
sono le loro eventuali definizioni ma i loro elementi; ad esempio l’insieme dei
triangoli con tre lati uguali e l’insieme dei triangoli con tre angoli uguali sono
lo stesso insieme. Così pure {x, y} = {y, x}, da cui la dizione “non ordinata”
per la coppia.
Le operazioni insiemistiche principali, sui sottoinsiemi di un insieme U,
sono le seguenti:
2 Talvolta si scrive x, y ∈ X per “x ∈ X e y ∈ X”, quindi x, y ∈ {x, y}.
3 Si distingue tra “essere contenuto in un insieme”, che si riferisce a sottoinsiemi, ed
“appartenere a un insieme”, che si riferisce ad elementi.