Logica Matematica Corso di Laurea in Informatica ... - Mbox.dmi.unict.it

7.3. QUANTIFICATORI E DIMOSTRAZIONI 159
ciascuna delle forme di Skolem delle Ai è valida in un arricchimento, relativo
a simboli funzionali diversi, della stessa M.
Esempio 7.2.12. All’enunciato ∃x∀yP (x, y)∧¬∃z∀xP (x, z) si può associare la
forma ∀yP (c, y) ∧ ∀z¬P (F (z), z), equivalente a ∀y∀z(P (c, y) ∧ ¬P (F (z), z))
invece di passare alla forma prenessa ∃x∀y∀z∃u(P (x, y)∧¬P (u, z)) e quindi a
∀y∀z(P (c, y)∧¬P (G(y, z), z)) dove il simbolo funzionale G è a due argomenti.
Esercizio 7.2.13. Trasformare in forma prenessa le seguenti formule:
∀x∃yR(x, y) ∧ (∃xP (x) ∨ ∃xQ(x))
∀x∃yR(x, y) ∨ (∃xP (x) ∧ ∃xQ(x))
∀xP (x) ∨ ∀x(Q(x) → ∃zR(x, z))
∀x(P (x) ∨ ∀xQ(x)) → ∃x(P (x) ∨ Q(x)).
Esercizio 7.2.14. Trasformare in forma normale di Skolem le seguenti formule,
anche in più di un modo:
∃xP (x) ∨ ¬∃xP (x)
∀xP (x) ∧ ∃x¬P (x)
∃xP (x) → ∃xQ(x)
∀x∃y(∀zR(z, y) ∨ ¬P (x, y)) ∧ ∀x∃y∀z∃u(P (x, z) → R(y, u))
∀x∃yR(x, y) → (∃y∀xR(x, y) ∨ ∀y∃x¬R(x, y))
¬(∀x∃yR(x, y) → (∃y∀xR(x, y) ∨ ∀y∃x¬R(x, y))).
7.3 Quantificatori e dimostrazioni
Completata la presentazione del linguaggio dei predicati e delle principali
leggi logiche, possiamo vedere come intervengono nelle dimostrazioni.
Le frasi matematiche presenti nelle premesse e conclusioni di una dimostrazione
sono rappresentate da enunciati di linguaggi predicativi, mentre i
passaggi intermedi di solito sono formule, formule algebriche 16 o loro combinazioni
proposizionali, con variabili libere; si tratta di vedere come si fa a
togliere e (ri)mettere i quantificatori.
Le regole per la deduzione naturale date nel capitolo 2 hanno questo
scopo. Le ricordiamo precisando la condizione allora non menzionata che
nell’eliminazione dell’universale e nell’introduzione dell’esistenziale il termine
deve essere sostituibile nella formule.
16 Una definizione generale di “formula algebrica” potrebbe essere “formula atomica con
predicato = o