Logica Matematica Corso di Laurea in Informatica ... - Mbox.dmi.unict.it

7.2. SEMANTICA 155
Esercizio. Si trovi un’interpretazione in cui ∃xA∧∃xB è vero e ∃x(A∧B)
è falso.
Sono particolarmente importanti le leggi che regolano i rapporti tra quantificatori
e condizionale. Mentre è facile convincersi che
∀x(A → B) → (∀xA → ∀xB)
è logicamente valida, il condizionale inverso non lo è. Non si può quindi
parlare di distributività di ∀ su →.
Per trovare un controesempio, si deve pensare ad un’interpretazione in
cui ∀xP (x) → ∀xQ(x) sia vero semplicemente perché ∀xP (x) è falso, mentre
non è vero ∀x(P (x) → Q(x)). L’insieme U = {a, b, c} con {a, b} per l’insieme
di verità di P (x) e {b, c} per l’insieme di verità di Q(x) risponde allo scopo.
Se A non contiene x libera tuttavia, allora
e
Verifichiamo la prima.
∀x(A → B) ≡ A → ∀xB
∃x(A → B) ≡ A → ∃xB.
Dimostrazione. Dato un U qualsiasi e supposto per semplicità che A sia
un enunciato, distinguiamo due casi. Se A è falso, A → ∀xB è vero, ma
d’altra parte anche ∀x(A → B) è vero perché A → B è soddisfatta da ogni
assegnazione.
Se A è vero, l’insieme di verità di A → B è uguale all’insieme d i verità
di B: le assegnazioni che soddisfano A → B sono esattamente quelle che
soddisfano B. Quindi se ∀x(A → B) è vero, ma anche ∀xB lo è, e così pure
A → ∀xB.
Queste leggi esprimono un caso particolare della possibilità di mettere il
quantificatore nella posizione in cui il suo raggio d’azione esplica la sua funzione
effettiva, sulle occorrenze libere della variabile (spostarlo all’indentro).
Ne deriva una migliore leggibilità delle formule e una loro maggiore aderenza
alle versioni informali.
Altri casi analoghi, e non indipendenti dai precedenti, sono le leggi
e
∀x(A ∨ B) ≡ A ∨ ∀xB
∃x(A ∧ B) ≡ A ∧ ∃xB
se x non occorre libera in A.