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136 CAPITOLO 6. ALBERI DI REFUTAZIONE ¬(p ∨ ¬q) ∨ q ∨ ¬(p → q) ↙ ↓ ↘ ¬(p ∨ ¬q) q ¬(p → q) ↓ ↓ ¬p p ↓ ↓ ¬¬q ¬q ↓ q . L’albero non è chiuso e la forma normale disgiuntiva della radice è (¬p ∧ q) ∨ q ∨ (p ∧ ¬q); i tre modelli dati dai tre rami non chiusi sono i1(p) = 0, i1(q) = 1, i2(q) = 1, i3(p) = 1, i3(q) = 0 dove il secondo sta per due interpretazioni, di cui una però coincide con la prima; rami diversi non danno interpretazioni diverse. La proposizione non è una tautologia in quanto manca l’interpretazione i(p) = i(q) = 0 tra i suoi modelli. Se l’albero per A si chiude, si sa che A è una contraddizione e una forma normale disgiuntiva si scrive direttamente. Dall’albero di A non si legge invece direttamente la forma normale congiuntiva di A; per ottenere questa, una via indiretta ma comunque veloce è la seguente: si mette nella radice ¬A, si sviluppa l’albero per ¬A e si trova una forma normale disgiuntiva di ¬A. Quindi si nega questa premettendo una negazione, e si applicano le leggi di De Morgan. Poiché l’albero terminato e non chiuso permette di leggere i modelli della radice, per verificare che A è una tautologia si può anche sviluppare l’albero con radice A, e controllare che ci siano alla fine 2 n interpretazioni associate ai rami non chiusi, se A ha n lettere. Ma se la domanda è se A sia una tautologia, è più conveniente impostare l’albero con ¬A, perché se la risposta è positiva essa arriva dalla chiusura dell’albero, in generale più in fretta dello sviluppo integrale dell’albero con radice A e del conteggio dei modelli. Esercizio 6.1.10. Verificare con gli alberi di refutazione le leggi logiche della sezione 2.2.1. Esercizio 6.1.11. Verificare con gli alberi di refutazione se le seguenti pro-
6.1. IL METODO 137 posizioni sono tautologie, e se no indicare i controesempi: (p ∨ q) ∧ (r → ¬p) → (r → q) ((p → ¬p) ∧ (q → p)) → ¬q (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ q) ∨ q (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ q) ∨ ¬q. Esercizio 6.1.12. Verificare con gli alberi di refutazione se le seguenti proposizioni sono insoddisfacibili: ((p ∨ q) ∧ (¬p ∨ q) ∧ ¬q) → q (p → ¬q) ∧ (¬p ∨ q) (p → ¬q) ∧ ¬p ∧ q (p → ¬q) ∧ p ∧ q (p ∨ ¬q ∨ r) ∧ ¬r ∧ (¬p ∨ q) ∧ ¬p. Esercizio 6.1.13. Trovare con gli alberi di refutazione la forma normale disgiuntiva e i modelli delle seguenti proposizioni: p ∧ q → (p → q) p ∧ q → (p → q ∧ r) (p → (q ∨ (p ∧ r))) ∧ (¬p ∧ (q → p)). Con gli alberi di refutazione trovare la forma normale congiuntiva delle seguenti proposizioni: p ∧ q → (p → q ∧ r) (p ∨ q → r) ∧ ¬p → (p ∨ r) (p → (q ∨ (p ∧ r))) ∧ (¬p ∧ (q → p)).
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ii INDICE 4.3 Forme normali congiun
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20 CAPITOLO 1. LINGUAGGI frase è v
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22 CAPITOLO 1. LINGUAGGI Che i nume
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24 CAPITOLO 1. LINGUAGGI Esempio 1.
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28 CAPITOLO 1. LINGUAGGI 2. Se piov
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32 CAPITOLO 1. LINGUAGGI Torniamo o
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