Logica Matematica Corso di Laurea in Informatica ... - Mbox.dmi.unict.it

3.1. INSIEMI 81
o anche
n
Ai,
i=1
o semplicemente Ai.
L’intersezione generalizzata degli n insiemi è l’insieme degli elementi che
appartengono a tutti gli Ai, in simboli:
o anche
n
Ai = {x ∈ U | per ogni i, 1 ≤ i ≤ n, x ∈ Ai}
i=1
n
Ai,
i=1
o semplicemente Ai.
Si nota che la definizione dell’operazione generalizzata differisce da quella
della operazione a due argomenti per l’uso dei quantificatori invece dei connettivi,
rispettivamente ∃ per ∨ e ∀ per ∧. Anche i quantificatori, si possono
interpretare come connettivi generalizzati.
Per le operazioni generalizzate valgono molte delle leggi dell’unione e
intersezione, opportunamente riformulate, ad esempio le proprietà commutativa,
associativa e di assorbimento; valgono le leggi di De Morgan:
e
n
∼( Ai) =
i=1
n
∼( Ai) =
i=1
n
(∼ Ai)
i=1
n
(∼ Ai).
Valgono le leggi distributive di una operazione generalizzata rispetto a una
normale (non con entrambe generalizzate):
e
n
( Ai) ∪ B =
i=1
n
( Ai) ∩ B =
i=1
i=1
n
(Ai ∪ B)
i=1
n
(Ai ∩ B).
i=1