Logica Matematica Corso di Laurea in Informatica ... - Mbox.dmi.unict.it

80 CAPITOLO 3. INSIEMI E ALGEBRE DI BOOLE
21 X ∪ ∅ = X.
Dimostrazione. Se x ∈ X ∪∅, allora x ∈ X ∨x ∈ ∅, ma x ∈ ∅ quindi per
eliminazione della disgiunzione x ∈ X. Il viceversa segue dalla 25.
24 X ⊆ U.
Dimostrazione. x ∈ U → (x ∈ X → x ∈ U) (esercizio).
23 ∅ ⊆ X.
Dimostrazione. Per ogni x, x ∈ ∅ → x ∈ X segue da x ∈ ∅, qualunque
sia X.
17 X ∪ (∼ X) = U.
Dimostrazione. Per ogni x, x ∈ X ∨ ¬(x ∈ X). Così si dimostra ⊇, il
viceversa è 24.
30 X ⊆ Y se e solo se X ∩ (∼ Y ) = ∅.
Dimostrazione. Da sinistra a destra. Se x ∈ X allora x ∈ Y ; se ora
esistesse un x ∈ X ∩ (∼ Y ) si avrebbe una contraddizione x ∈ Y e x ∈
∼ Y . La dimostrazione è per assurdo: per dimostrare A → B si assume
A in vista della introduzione del condizionale, quindi si assume ¬B in
vista dell’eliminazione della negazione. Si ottiene una contraddizione,
quindi B.
Si potrebbe pensare anche che una contraddizione si deriva da A ∧ ¬B,
quindi ¬(A ∧ ¬B); ma ¬(A ∧ ¬B) ⊢ A → B e A → B ⊢ ¬(A ∧ ¬B)
(esercizio).
Il viceversa per esercizio.
Grazie alla validità delle leggi associative per unione e intersezione, queste
operazioni possono essere generalizzate a più di due insiemi.
Se A1, . . . , An sono n sottoinsiemi di U, la loro unione è l’insieme i cui
elementi sono gli elementi di U che appartengono a qualche Ai, in simboli:
n
Ai = {x ∈ U | per qualche i, 1 ≤ i ≤ n, x ∈ Ai}
i=1