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150 CAPITOLO 7. LINGUAGGI PREDICATIVI
ma
• 1|y significa che 1 divide y,
• 0|y significa che 0 divide y,
• (2 · x)|y significa che 2 · x divide y,
• u|y significa che u divide y,
• ∃z(y = z · z) significherebbe che y è un quadrato.
Un esempio tratto, forzosamente, dal linguaggio comune potrebbe essere il
seguente, dove si suppone di usare “Tizio”, “Caio” e “Sempronio” come
variabili: invece di dire che ognuno ha un padre, si dica “ogni Tizio ha un
Caio per padre”; particolarizzando, si può dedurre che Giovanni ha un Caio
per padre, che Maria ha un Caio per padre, ma non si può dedurre “Caio ha
Caio per padre”.
Per isolare i casi di sostituzione illecita si introduce la seguente
Definizione 7.2.1. Un termine t si dice sostituibile 12 a x in A se non ci sono
in A occorrenze di x che cadono dentro al raggio d’azione di quantificatori
Qy, dove y sono variabili occorrenti in t.
Con la definizione si vuole intendere che se si sostituisce a x in A un
termine sostituibile a x in A, la frase A[x/t] ha lo stesso significato per t di
A.
I rapporti tra A[x] e A[x/t] sono regolati dal seguente
Lemma 7.2.2. Se t è sostituibile a x in A e se α e α ′ sono due assegnazioni
in M tali che α ′ (x) = t α , e α ′ (y) = α(y) per ogni altra eventuale variabile
libera in A diversa da x, allora
Come caso particolare:
M, α ′ |= A se e solo se M, α |= A[x/t].
Corollario 7.2.3. Se y è una variabile che non occorre in A, né libera né
vincolata, e se α e α ′ sono due assegnazioni in M tali che
α ′
α(y) se z è x,
(z) =
α(z) se z è diversa da x,
allora
M, α ′ |= A se e solo se M, α |= A[x/y].
12 Nella letteratura si trova più spesso la dizione “libero per x in A”.