Logica Matematica Corso di Laurea in Informatica ... - Mbox.dmi.unict.it

168 CAPITOLO 8. CALCOLI LOGICI
Non vale più la proprietà di terminazione, come mostra l’albero per
l’enunciato ∀x∃yR(x, y)
∀x∃yR(x, y)
∃yR(c, y)
R(c, c1)
∃yR(c1, y)
R(c1, c2)
∃yR(c2, y)
Valgono però le proprietà fondamentali di correttezza e completezza.
.
Teorema 8.1.2 (Correttezza). Se l’albero di refutazione con radice A si
chiude, allora A è insoddisfacibile. ✷
Teorema 8.1.3 (Completezza). Se A è insoddisfacibile, l’albero con radice
A si chiude.
La dimostrazione segue dal
Lemma 8.1.4. Se l’albero di refutazione con radice A non si chiude, allora
per ogni ramo non chiuso, finito e terminato, o infinito, esiste un modello di
A.
Dimostrazione. In ogni caso si definisce un’interpretazione M nel seguente
modo. L’universo M è l’insieme dei termini chiusi che occorrono in qualche
enunciato del ramo (anche sottotermini di termini). L’interpretazione è definita
solo per i simboli che effettivamente compaiono in qualche enunciato
del ramo. Per ogni costante c, dell’alfabeto originario o introdotta nel corso
del processo, si pone c M = c; per ogni simbolo funzionale F a n argomenti
e ogni t1, . . . , tn ∈ M, si pone F M (t1, . . . , tn) = F (t1, . . . , tn) se F (t1, . . . , tn)
appartiene a M, altrimenti un termine qualunque. Si ha allora che t M = t
per ogni t ∈ M.
Infine per ogni simbolo predicativo P a n argomenti e ogni t1, . . . , tn ∈ M
si pone per definizione
〈t1, . . . , tn〉 ∈ P M se e solo se P (t1, . . . , tn) è un nodo del ramo.