Logica Matematica Corso di Laurea in Informatica ... - Mbox.dmi.unict.it

3.2. ALGEBRE DI BOOLE 89
Si indichi con ≤ la relazione definita da x ≤ y ↔ x ◦ y = x (o da
x ≤ y ↔ x ◦ (−y) = 0 o ancora da x ≤ y ↔ x + y = y; a seconda dei casi
converrà usare l’una o l’altra definizione).
La relazione ≤ è un ordine parziale per l’esercizio 2 di 4.2.1.
Si ha 0 ≤ x ≤ 1 per ogni x (esercizio). Questo significa che 0 è il minimo
rispetto alla relazione ≤ e 1 il massimo.
Inseriamo qui una dimostrazione dell’equivalenza tra le due definizioni di
≤ mediante ◦, dove si noterà l’analogia formale con quella fatta per la legge
37 dell’algebra degli insiemi.
Se
x ◦ y = x
allora
allora
Viceversa se
1 = x + (−x)
1 = (x ◦ y) + (−x)
1 = (x + (−x)) ◦ (y + (−x))
1 = y + (−x)
0 = x ◦ (−y).
x = x ◦ 1
x ◦ (−y) = 0
x = x ◦ (y + (−y))
x = (x ◦ y) + (x ◦ (−y))
x = x ◦ y.
Esercizio 3.2.4. Dimostrare l’equivalenza con la (versione corrispondente
della) 29 di pagina 79.
Si dimostra (esercizio) x + y = sup{x, y} e x ◦ y = inf{x, y}, sup e inf
rispetto a ≤: significano che x + y è il minimo (rispetto a ≤) elemento
maggiore o uguale sia di x che di y, e che x ◦ y è il massimo elemento minore
o uguale sia di x che di y.
Si può anche definire un’algebra di Boole come un insieme parzialmente
ordinato da una relazione ≤ tale che
1. per ogni x, y esistano sup{x, y} e inf{x, y}, che sono denotati rispettivamente
x + y e x ◦ y,