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92 CAPITOLO 3. INSIEMI E ALGEBRE DI BOOLE
delle classi. Ad esempio −[A] è definita con ¬A e non ad esempio con ¬¬¬A.
Se si cambia il rappresentante di una classe, si vuole che il risultato, che è
una classe, sia lo stesso.
In effetti è così per le operazioni sopra definite. Ad esempio se A1 ≡ A
e B1 ≡ B, siccome A1 ∧ B1 ≡ A ∧ B (esercizio — si veda anche alla fine di
questo paragrafo) si ha [A1] ◦ [B1] = [A ∧ B], così come [A] ◦ [B] = [A ∧ B],
quindi [A1] ◦ [B1] = [A] ◦ [B].
Si giustifica in questo modo la dizione “a meno di equivalenza” con
cui una proposizione è considerata uguale ad ogni altra ad essa logicamente
equivalente, o almeno indistinguibile da quelle, ai fini della trattazione
semantica.
Date queste definizioni, le precedenti equivalenze danno allora origine alle
uguaglianze:
[A] ◦ [B] = [B] ◦ [A] commutatività di ◦
[A] + [B] = [B] + [A] commutatività di +
[A] ◦ ([B] ◦ [C]) = ([A] ◦ [B]) ◦ [C] associatività di ◦
[A] + ([B] + [C]) = ([A] + [B]) + [C] associatività di +
[A] ◦ ([B] + [C]) = ([A] ◦ [B]) + ([A] ◦ [C]) distributività
[A] + ([B] ◦ [C]) = ([A] + [B]) ◦ ([A] + [C]) distributività.
Tutte le tautologie sono tra loro equivalenti, e non equivalenti a nessuna
proposizione non logicamente valida; lo stesso per le contraddizioni; denotiamo
con 1 la classe delle tautologie, e con 0 la classe delle contraddizioni.
Allora [A] ◦ (−[A]) = [A ∧ ¬A] = 0 e [A] + (−[A]) = [A ∨ ¬A] = 1 e
possiamo quindi aggiungere:
[A] ◦ (−[A]) = 0 inverso
[A] + (−[A]) = 1 inverso
[A] ◦ 1 = [A] elemento neutro
[A] + 0 = [A] elemento neutro
completando la lista degli assiomi delle algebre di Boole.
Le ultime due leggi seguono dal fatto (o lo esprimono in altra forma) che
se T è una tautologia A∧T ≡ A e se F è una contraddizione allora A∨F ≡ A.
La relazione [A] ≤ [B] è definita da [A]◦[B] = [A], oppure dall’equivalente
[A]◦−[B] = 0, o ancora dalle altre condizioni equivalenti (esercizio 3 di 4.2.1).
Dall’equivalenza booleana delle diverse definizioni di ≤ si deriva la seguente
proprietà logica, che
A ≡ A ∧ B se e solo se |= A → B.