Logica Matematica Corso di Laurea in Informatica ... - Mbox.dmi.unict.it

7.2. SEMANTICA 151
Il corollario permette di utilizzare la stessa soluzione che si usa di fatto
nel parlato per evitare le incongruenze del tipo sopra segnalato dovute alla
sostituzione di un termine non sostituibile 13 .
Se, in riferimento al primo esempio di sopra, si vuole dire che esiste un
elemento diverso da y, si scrive ad esempio ∃u(y = u), prendendo come
espressione di “esiste un elemento diverso da x” la formula ∃u(x = u) invece
di ∃y(x = y).
Analogamente, in riferimento al secondo esempio, se si deve affermare
che z|y si assume che la definizione di “x divide y” sia data dalla formula
∃v(y = x · v) e non da ∃z(y = x · z)
Le due formule sono logicamente equivalenti, grazie al
Lemma 7.2.4. Se y è una variabile che non occorre in A, allora
QxA ≡ QyA[x/y].
L’ipotesi è necessaria, come mostra il controesempio di ∃x∃yR(x, y) che
non è equivalente a ∃y∃yR(y, y).
La trasformazione permessa dal lemma di QxA nella equivalente QyA[x/y]
si chiama rinomina delle variabili vincolate.
La definizione di sostituzione comporta che se x non occorre libera in A
o non occorre in s, allora A[x/t] o s[x/s1] sono rispettivamente uguali a A o
a s.
Ne segue che se x non occorre libera in A allora QxA ≡ A.
Esercizi
Esercizio 7.2.5. In un linguaggio aritmetico con costanti per le prime dieci
cifre da 0 a 9, e le operazioni di somma, prodotto e potenza, spiegare quali
sono i termini che denotano i numeri nella notazione posizionale in base dieci;
quali sono i termini per 512, per 23, per 101?
Esercizio 7.2.6. Scrivere in linguaggio predicativo tutte le definizioni relative
alle relazioni d’ordine (massimo, minimo, maggiorante, minorante,
estremo superiore, . . . ).
Esercizio 7.2.7. Quali sono gli insiemi di verità (cfr. sezione 3.1.1) in N di
∃y(2y = x ∧ ∃z(2z = y))
∃y(2y = x ∧ ∃y(2y = x))
∃y(xy = 2 ∧ ∃z(yz = 2))
∃y(xy = 2 ∧ ∃y(xy = 2))?
13 Basterebbe il lemma, ma in pratica si utilizza la possibilità più semplice data dal
corollario, di prendere una variabile nuova.