Logica Matematica Corso di Laurea in Informatica ... - Mbox.dmi.unict.it

154 CAPITOLO 7. LINGUAGGI PREDICATIVI
Una legge simmetrica rispetto a quella di particolarizzazione, che si chiama
anche di generalizzazione esistenziale, o di indebolimento esistenziale,
afferma che se t è sostituibile a x in A allora è logicamente valida
A[x/t] → ∃xA.
Ad esempio, siccome y +(−y) = 0 vale negli interi, si può dedurre ∃x(y +x =
0); qui bisogna pensare che Ax/t] è y + (−y) = 0, con t uguale a −y, e che
è ottenuta da y + x = 0 per sostituzione di −y a x. Ma potrebbe essere
stata ottenuta per sostituzione di −y a z in y + z = 0 e si può altrettanto
correttamente dedurre ∃z(y + z = 0), pensando di applicare A[z/t] → ∃zA.
Se si combinano in serie particolarizzazione e generalizzazione esistenziale
si ottiene
∀xA → ∃xA,
che è valida in quanto si considerano solo sempre interpretazioni in cui
l’universo non è vuoto 15 .
Sono leggi logiche anche le leggi di rinomina delle variabili vincolate del
lemma 7.2.4.
Le leggi di rinomina seguono anche dalla legge di particolarizzazione e
dalle prossime leggi riguardanti condizionale e quantificatori (esercizio).
Altre leggi stabiliscono dei rapporti tra connettivi e quantificatori che
permettono di trasformare le formule in altre equivalenti con un diverso segno
logico principale:
∀x(A ∧ B) ≡∀xA ∧ ∀xB distributività di ∀ su ∧
∃x(A ∨ B) ≡∃xA ∨ ∃xB distributività di ∃ su ∨
sono immediate conseguenze del significato dei simboli logici.
Si possono derivare facilmente con la deduzione naturale (esercizio).
Mentre è pure ovvio che siano logicamente valide
∀xA ∨ ∀xB → ∀x(A ∨ B)
∃x(A ∧ B) → ∃xA ∧ ∃xB,
non valgono le implicazioni inverse.
Se ad esempio U è un insieme con due elementi {a, b} e l’interpretazione
di P è {a} e l’interpretazione di Q è {b}, allora in questa interpretazione
∀x(P (x) ∨ Q(x)) è vero, mentre sono falsi sia ∀xP (x) (l’insieme di verità di
P (x) non è tutto U) sia ∀xQ(x).
15 Se si scegliesse come U l’insieme di tutte le creature della fantasia, non si potrebbe
pretendere, come non si pretende, che ivi valgano tutte le leggi della logica. Lo stesso
nell’universo di quei filosofi che dicono che tutto è apparenza.