Logica Matematica Corso di Laurea in Informatica ... - Mbox.dmi.unict.it

2.3. CALCOLO DELLA DEDUZIONE NATURALE 61
2.3 Calcolo della deduzione naturale
Alcune leggi sono spesso presentate in forma di regole di inferenza; ad esempio
il modus ponens, invece che da |= A → ((A → B) → B), da
A A → B
B
l’eliminazione e l’introduzione della congiunzione, l’introduzione della disgiunzione,
il sillogismo disgiuntivo (come eliminazione della disgiunzione)
e altre le abbiamo già viste nel capitolo 1.
La regola di introduzione della negazione è giustificata dalla legge di riduzione
all’assurdo. Quella di eliminazione della negazione è giustificata dal fatto
che A1, . . . , An |= B equivale all’essere {A1, . . . , An, ¬B} insoddisfacibile.
Infatti {A1, . . . , An, ¬B} insoddisfacibile è equivalente a
A1, . . . , An, ¬B |= C ∧ ¬C.
Si ritrovano così le regole della deduzione naturale. Le regole e la loro
rappresentazione grafica si interpretano semanticamente nel seguente modo.
Le leggi corrispondenti permettono di asserire che se sono vere le proposizioni
sopra la riga, o premesse della regola, allora è vera anche la proposizione sotto
la riga, o conclusione. Regole d’inferenza di questo genere si dicono corrette
se le premesse implicano logicamente la conclusione — quindi le regole sopra
elencate sono corrette.
Si chiamano in generale calcoli logici i metodi per rispondere ai quesiti
logici sulla verità, l’insoddisfacibilità, la conseguenza, metodi che sono procedure
guidate dalla sintassi, e che si articolano in applicazioni iterate di regole
che producono strutture come sequenze finite o alberi di proposizioni, che si
chiamano deduzioni, o derivazioni, o dimostrazioni.
Il calcolo della deduzione naturale presentato nella sezione 1.2 (quello
classico) è un tale calcolo, ideato per provare la sussistenza della validità
logica.
Quando si dà un metodo sintattico per rispondere a quesiti di natura
semantica (o un calcolo per risolvere un problema), si pone la questione, e la
richiesta, della correttezza e completezza del metodo. Correttezza significa
che le risposte che dà il metodo sono giuste, completezza significa che quando
la risposta c’è il metodo la dà, quella giusta.
Se le regole del calcolo della deduzione naturale sono, come sono, corrette,
è ovvio che:
Teorema 2.3.1 (Correttezza). Se A1, . . . , An ⊢ B, allora A1, . . . , An |= B.
;