Logica Matematica Corso di Laurea in Informatica ... - Mbox.dmi.unict.it

3.1. INSIEMI 73
Dal punto di vista grammaticale l’affermazione x ∈ X è la attribuzione
a x di una proprietà X, e la notazione logica sarebbe X(x), ma la scrittura
x ∈ X è standard.
Gli insiemi si possono identificare con le proprietà nel senso che a ogni
proprietà corrisponde l’insieme degli individui che godono di quella proprietà,
e a ogni insieme corrisponde la proprietà di appartenere a quell’insieme.
Se Y è l’insieme definito da B(x), la formula ∀x(A[x] → B[x]) diventa
∀x(x ∈ X → z ∈ Y ).
Se ci si limita ad affermazioni come questa di tipo universale, si possono
tralasciare i quantificatori e scrivere x ∈ X → x ∈ Y , ottenendo formule
composte con i connettivi le quali risultano vere o false ogni volta che a x si
assegna un particolare individuo dell’universo di discorso.
3.1.1 Algebra degli insiemi
Consideriamo un dominio di discorso costituito da un insieme U, “U” per
“universo”, e un linguaggio che abbia senso per U, cioè i cui simboli di
funzioni o relazione abbiano un corrispondente in funzioni e relazioni su U.
Supponiamo 1 che ogni elemento a di U abbia un nome ca nel linguaggio.
Allora a ogni formula A[x] è associato un insieme, l’insieme definito da
A[x] in U, che si può chiamare insieme di verità di A[x] in U:
VA[x] = {a ∈ U | A[ca] è vera in U},
che si legge “l’insieme degli elementi a di U per cui A[ca] è vera in U”, o
anche l’insieme degli elementi di U che soddisfano la condizione A[x] in U.
Talvolta si scrive anche {x ∈ U | A[x]} o addirittura {x | A[x]} se è chiaro
anche l’insieme ambiente U, ma la notazione è ambigua e ingannevole, perché
x viene a indicare sia un simbolo sia un elemento di U.
Una volta chiarito il concetto, si può continuare a usare la notazione
abituale, essendo consapevoli tuttavia che non ha senso sostituire un oggetto,
per esempio un numero reale, al posto di una variabile in una formula.
Se A[x] contiene quantificatori, per vedere se è vera in U bisogna restringere
a U i quantificatori stessi. Ad esempio {x ∈ U | ∃y(y 2 = x) in U} è lo
stesso di {x ∈ U | ∃y(y ∈ U ∧ (y 2 = x))} (e questa formula se U è l’insieme
dei numeri reali definisce l’insieme dei numeri positivi, mentre se U è l’insieme
dei numeri razionali definisce l’insieme dei quadrati, che tuttavia non
comprende tutti i numeri positivi, ad esempio non 2).
1 Si tratta di una soluzione tecnica, non l’unica possibile, ma inizialmente la più comoda,
per dare un senso rigoroso a “assegnare a x un particolare individuo dell’universo di
discorso”.