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72 CAPITOLO 3. INSIEMI E ALGEBRE DI BOOLE
incappucciato, che dice “io sono compreso tra 1 e 3”. Se si toglie il cappuccio
ed appare 2 ha detto il vero, se appare 0, o 3 o 5 ha detto il falso.
Supponiamo che l’universo sia costituito dai numeri naturali. Se il numero
incappucciato continua dicendo “quindi io sono il numero 2”, bisogna
ammettere che l’inferenza è corretta, anche senza togliergli il cappuccio. La
formula 1 < x < 3 è soddisfatta dal solo elemento 2, e possiamo affermare
1 < x < 3 → x = 2, intendendo che ∀x(1 < x < 3 → x = 2) è vero.
Se invece l’universo di discorso, che dalla formula in sé non si evince, è
quello dei numeri reali, la formula è soddisfatta anche da 1,1, da 1,9, da 2 ,5,
da √ 2 e da tutti gli infiniti elementi dell’intervallo (1, 3). In questo caso
∀x(1 < x < 3 → x = 2) non è vero.
Le frasi con variabili senza quantificatori, quando sono usate correttamente,
ma in generale all’interno di discorsi più ampi, intendono le variabili in
senso universale. Le variabili usate nella esperienza scolastica con l’algebra
sono usate in questo modo.
Tuttavia la matematica è diversa dal linguaggio comune, e in essa tali
formule una svolgono un’altra utile funzione, che non è se non raramente
presente nel discorso naturale, quella di definire vari insiemi di enti.
La lettura che invece ci mette sulla strada per capire la funzione autonoma
di una formula come 1 < x < 3 è la seguente: “i numeri compresi tra 1
e 3”. La formula non asserisce alcunché di fattuale, essa definisce l’insieme
dei numeri compresi tra 1 e 3, insiemi che sono diversi nel contesto rispettivamente
dei numeri naturali, razionali o reali. Fissata tale ottica, potremmo
dire che la formula denota l’intervallo (1,3).
Le formule A[x] intervengono dunque nello studio degli insiemi definibili;
oltre a definire insiemi, possono servire anche a fare affermazioni su di
essi. Ad esempio per affermare che l’insieme definito da A[x] è contenuto
nell’insieme definito da B[x] si può scrive ∀x(A[x] → B[x]), o qualcosa di più
preciso che indichi anche l’universo di discorso.
Consideriamo ora un argomento nel quale possiamo da una parte applicare
quanto imparato a proposito dei connettivi, e dall’altra iniziare a
familiarizzarci con le variabili: le variabili sono usate o per fare affermazioni
universali, anche senza la scrittura esplicita di ∀, o per definire insiemi.
Se X è l’insieme degli elementi di un universo che soddisfano la proprietà
definita da A[x], vale
∀x(x ∈ X ↔ A[x]),
dove x ∈ X si legge “x appartiene a X”, o “x è un elemento di X”; x ∈ X
significa che x non appartiene a X, è un’abbreviazione per ¬(x ∈ X).
Il simbolo X viene introdotto in corrispondenza alla formula A[x].