Logica Matematica Corso di Laurea in Informatica ... - Mbox.dmi.unict.it

18 CAPITOLO 1. LINGUAGGI
La precedente formula è tuttavia ambigua, e deve essere corretta in
∀x∀y(R(x, y) → (S(x, y) ∧ ∀z(C(z, y) → H(x, z))))
in modo che entrambe le conseguenze (pagare e tenere i cocci) dipendano
da R(x, y). Altrimenti se si pensasse a (R(x, y) → S(x, y)) ∧ . . . la frase
∀z(C(z, y) → H(x, z)) significherebbe che x si prende i cocci di ogni cosa,
che l’abbia rotta lui o no.
Esempio 1.1.17. “Un regalo conquista un amico”.
Cominciamo a riformulare la frase spogliandola di significati metaforici
(un regalo è una cosa e non conquista nulla). Si intende ovviamente dire
che chi fa un regalo acquista un amico, e più dettagliatamente che se una
persona fa un regalo a un’altra persona, questa diventa suo amico. Usiamo
una relazione ternaria R(x, y, z) per “x regala y a z” e una relazione binaria
per A(x, y) “x diventa amico di y”.
∀x∀y(∃zR(x, z, y) → A(y, x)).
Esempio 1.1.18. “A Natale si fanno regali agli amici”.
Si intende che a Natale ognuno fa un regalo a ciascuno dei suoi amici.
Non è il caso di mettere in evidenza “Natale”, che non è rilevante per la
struttura logica della frase. Usiamo una relazione ternaria R(x, y, z) per “x
a Natale regala y a z” e una relazione binaria A(x, y) per “y è un amico di
x”.
∀x∀y(A(x, y) → ∃zR(x, z, y)).
Esempio 1.1.19. “Chi non risica non rosica”.
“Risicare” è verbo intransitivo (anche se qualche volta si dice “ha rischiato
qualcosa”, ma si intende “ha rischiato un po’ ”). “Rosicare” è transitivo,
anche se nella frase non compare il complemento oggetto, ma si intende “non
rosica nulla”. Usiamo un predicato R per “risicare” e una relazione S(x, y)
per “x rosica y”.
∀x(¬R(x) → ¬∃yS(x, y)).
Esempio 1.1.20. “Sono eligibili tutti e soli gli studenti in corso”.
Non interessa a cosa siano eligibili; serve un predicato per “essere eligibile”,
uno per “essere studente” e uno per “essere in corso”.
∀x(E(x) ↔ S(x) ∧ C(x)).
La dizione “tutti e soli” è strettamente legata a “se e solo se”. “Tutti gli
studenti in corso sono eligibili” è formalizzata da
∀x(S(x) ∧ C(x) → E(x)),