Logica Matematica Corso di Laurea in Informatica ... - Mbox.dmi.unict.it

146 CAPITOLO 7. LINGUAGGI PREDICATIVI
e F che non hanno un’interpretazione nemmeno nell’uso comune (come è il
caso dei simboli matematici), e questa è la caratteristica della logica formale.
∀x(∃yA(x, y) → F (x)) ad esempio può essere interpretato:
• nell’universo delle persone, e significare che chi ha un amico è felice —
se A e F sono interpretati in questo modo,
• o significare che uno è felice se ha un lavoro, se A è interpretato in
quest’altro modo,
• o significare che il dominio della relazione R è contenuto in X, se la
relazione R e l’insieme X sono definiti rispettivamente da A(x, y) e
F (x),
• oppure essere interpretato nei numeri naturali, usando ad esempio
A(x, y) per “x è divisibile per y con quoziente maggiore di 1 e minore
di x” e F (x) per “x è un numero composto”, e l’enunciato è vero
in questa interpretazione.
Prima di chiedersi se un enunciato è vero o no occorre precisare quale interpretazione
si ha in mente. Tuttavia per lo studio generale delle interpretazioni,
le singole interpretazioni sono troppo varie. Come nel caso proposizionale,
si cerca di formulare una definizione matematica astratta del concetto di
interpretazione.
7.2.1 Interpretazioni
Ogni interpretazione effettiva in un dominio di conoscenze comporta che si
individui l’universo del discorso, che deve essere un insieme non vuoto; quindi
si devono stabilire le relazioni e funzioni su questo insieme che corrispondono
ai simboli predicativi e funzionali che occorrono nell’enunciato. Se ci sono
costanti, bisogna fissare gli elementi di U di cui le costanti sono nomi.
Una interpretazione per un linguaggio predicativo è allora una struttura
M = 〈M, R M , . . . , f M , . . . , c M , . . .〉
dove M è un insieme non vuoto, R M , . . . sono relazioni n-arie su M, per ogni
simbolo relazionale R a n argomenti dell’alfabeto, f M , . . . sono funzioni da
M n in M, per ogni simbolo funzionale f dell’alfabeto, e c M , . . . sono elementi
di M, uno per ogni simbolo di costante.
Data un’interpretazione, solo alle variabili, di tutti i simboli dell’alfabeto,
manca un riferimento nellla struttura. Per dare una denotazione a tutti