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7.3. QUANTIFICATORI E DIMOSTRAZIONI 163
La regola relativa all’eliminazione temporanea del quantificatore esistenziale
afferma dunque che si può esemplificare un’affermazione esistenziale ∃xA
con A[x/c] o A[x/w] se per questa via si perviene a una conclusione che non
contiene la costante o non contiene libera la variabile usata per l’esemplificazione.
Tuttavia le cautele e le restrizioni per questa regola non sono ancora finite.
Finché la costante o la variabile introdotte come esemplificazione di un
quantificatore esistenziale non sono scomparse, l’argomento è incompleto, e
non terminato, come in sospeso, per il riferimento a questo elemento sconosciuto.
La costante o variabile può scomparire o per passaggi proposizionali
(come sopra, una dimostrazione per assurdo di un altro enunciato, oppure
per il taglio di un modus ponens), o per generalizzazione esistenziale.
Quello che bisogna assolutamente evitare è di quantificare universalmente
una variabile che sia stata introdotta come esemplificazione di un quantificatore
esistenziale (in questo l’uso di una costante ha ovvi vantaggi).
Un esempio di errore clamoroso dovuto a una simile disattenzione è la
seguente dimostrazione di ∃x∀y(x < y) a partire da ∀x∃y(x < y).
Assunto ∀x∃y(x < y), per particolarizzazione si ha ∃y(x < y); per esemplificazione
esistenziale, sia y tale che x < y. Se ora dimenticandosi della
natura esistenziale di y si affermasse ∀y(x < y) si potrebbe concludere per
generalizzazione esistenziale che ∃x∀y(x < y).
Ma questa conclusione non è conseguenza della premessa, come si vede
dal fatto che la premessa è ad esempio vera negli interi, mentre la conclusione
non lo è.
Anche la gestione della introduzione del quantificatore universale è più delicata
di quanto finora abbiamo lasciato intendere. Si possono legittimamente
(ri)quantificare universalmente le variabili libere che derivano per particolarizzazione
da un quantificatore universale, ma non è questa tutta la storia. A
volte sembra di lavorare con varibili libere che non derivano da una particolarizzazione,
e che pure hanno un significato universale. La vera condizione
è che le variabili non occorrano libere nelle assunzioni.
Ad esempio, se si parte assumendo 0 < x e con un argomento corretto,
utilizzando le proprietà dei numeri reali, si conclude ∃y(x = y 2 ), non si può
affermare ∀x∃y(x = y 2 ) — c’è una condizione restrittiva su x stabilita dalla
premessa. In realtà l’argomento che porta da 0 < x a ∃y(x = y 2 ) stabilisce
0 < x → ∃y(x = y 2 ) per x qualunque, senza alcuna premessa (salvo le proprietà
dei numeri reali espresse da enunciati, senza variabili libere). Quindi
x non è libera nelle premesse della derivazione di quest’ultima formula, che
non ci sono, e si può correttamente quantificarla in ∀x(0 < x → ∃y(x = y 2 )).
Infine esiste un problema con la generalizzazione universale all’interno
della esemplificazione esistenziale.