Logica Matematica Corso di Laurea in Informatica ... - Mbox.dmi.unict.it

3.1. INSIEMI 77
Si faccia attenzione che in italiano l’unione è descritta anche con la congiunzione:
l’unione di X e di Y contiene gli elementi di X e di Y .
Nella proprietà di minimalità dell’unione troviamo la spiegazione dello
scambio di “e” ed “o” osservato in precedenza in certe frasi. Se si indica
con Y l’insieme delle mele, con Z l’insieme delle pere, e con X l’insieme dei
frutti, allora la frase “mele e pere sono frutti”, intesa come “le mele sono
frutti e le pere sono frutti” significa che Y ⊆ X ∧ Z ⊆ X, ma questa implica
Y ∪ Z ⊆ X, cioè che “mele o pere sono frutti”.
Viceversa, se Y ∪Z ⊆ X, allora siccome Y ⊆ Y ∪Z si ha, per la transitività
di ⊆ — vedi oltre — che Y ⊆ X e analogamente Z ⊆ X, cioè “mele o pere
sono frutti” implica a sua volta “le mele sono frutti e le pere sono frutti”.
Le operazioni insiemistiche corrispondono ai connettivi: l’appartenenza al
complemento è definita mediante la negazione, l’appartenenza all’intersezione
mediante la congiunzione, e così via.
Viceversa, ai connettivi proposizionali corrispondono le operazioni insiemistiche
sugli insiemi di verità delle proposizioni componenti.
V¬A[x] = ∼ VA[x]
VA[x]∧B[x] = VA[x] ∩ VB[x]
VA[x]∨B[x] = VA[x] ∪ VB[x].
In particolare si ha Vx∈X = X.
Si può osservare allora che le operazioni non sono tutte indipendenti, ad
esempio:
X \ Y = X ∩ (∼ Y ).
Infatti
X \ Y = {x | x ∈ X ∧ x ∈ Y }
= {x | x ∈ X ∧ x ∈ ∼ Y }
= {x | x ∈ X ∩ (∼ Y )}
= X ∩ (∼ Y ).
Ma le mutue relazioni delle operazioni le vedremo meglio più avanti.
Per semplificare la scrittura, ed evitare alcune coppie di parentesi, si può
convenire su un ordine di priorità dei simboli di operazione (∼, ∩, ∪), analogo
a quello dei connettivi. Così X∩(∼ Y ) si potrebbe scrivere X∩∼ Y . Tuttavia
anche se la convenzione è sempre valida, qualche volta scriveremo parentesi
che sarebbero inutili, per comodità di lettura.
L’insieme vuoto ∅ è l’insieme che non ha alcun elemento, ed è un sottoinsieme
di qualsiasi U, definito da una condizione contraddittoria qualunque:
∅ = {x ∈ U | A[x] ∧ ¬A[x]},