Logica Matematica Corso di Laurea in Informatica ... - Mbox.dmi.unict.it

3.2. ALGEBRE DI BOOLE 85
assiomi per altre strutture) ma non è univoca. Abbiamo visto ad esempio
che se ci fosse la 1, la 18 sarebbe superflua. L’importante è la mutua e
varia interderivabilità delle leggi tra loro, e che tutte le leggi valide per i
sottoinsiemi di un insieme non vuoto U siano derivabili da quelle scelte come
assiomi. La raccolta di queste negli assiomi è solo, inizialmente, una
comodità mnemonica.
L’insieme dei sottoinsiemi di un insieme non vuoto U, con le operazioni
∼, ∩, ∪ e gli elementi speciali ∅ e U è un particolare esempio di algebra di
Boole, che si chiama algebra di insiemi; ne vedremo altre.
Vediamo come si derivano dagli assiomi alcune delle altre leggi prima
elencate.
1 X = X ∩ X
2 X = X ∪ X (esercizio)
20 X ∩ ∅ = ∅
19 X ∪ U = U (esercizio).
X = X ∩ U per la 18
X = X ∩ (X ∪ ∼ X) per la 17
X = (X ∩ X) ∪ (X ∩ ∼ X) per la 7
X = (X ∩ X) ∪ ∅ per la 16
X = X ∩ X per la 21.
X ∩ ∅ = X ∩ (X ∩ ∼ X) per la 16
X ∩ ∅ = (X ∩ X) ∩ ∼ X per la 5
X ∩ ∅ = X ∩ ∼ X per la 1
X ∩ ∅ = ∅ per la 16.
Prima di considerare altre leggi, occorre dimostrare l’unicità degli elementi
neutri e del complemento. Per quello dell’intersezione, questo significa:
34 Se X ∩ Y = Y per ogni Y , allora X = U.
Dimostrazione. Sostituendo U a Y si ha X ∩ U = U ma X ∩ U = X
per la 18, quindi X = U.
Per l’elemento neutro dell’unione, l’unicità significa:
35 Se X ∪ Y = Y per ogni Y , allora X = ∅ (esercizio).
L’unicità del complemento, o dell’inverso, è la proprietà che: